[論文レビュー] A stochastic model for phylogenetic trees

T. M. Liggett, R. B. Schinazi|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Evolution and Genetic Dynamics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、適応度に依存する選択を伴う出生死滅過程に基づく、系統樹のための単純な確率的モデルを提案する。新しいタイプ（突然変異）は率 $\lambda n$ で追加され、最も適応度が低いタイプは率 $n$ で除去される。$\lambda < 1$ のとき、モデルは長期間にわたり単一の優位タイプを有するスリムな系統樹を生成する——インフルエンザに一致する。$\lambda > 1$ のとき、多くの共存タイプを有するボリューミィな系統樹を生成する——HIVに一致する。主な結果は、優位タイプが時間 $\alpha t$ から $t$ まで存続する確率は、劣性状態（$\lambda < 1$）では $\alpha$ に収束するが、過剰状態（$\lambda > 1$）では 0 に収束することである。

ABSTRACT

We propose the following simple stochastic model for phylogenetic trees. New types are born and die according to a birth and death chain. At each birth we associate a fitness to the new type sampled from a fixed distribution. At each death the type with the smallest fitness is killed. We show that if the birth (i.e. mutation) rate is subcritical we get a phylogenetic tree consistent with an influenza tree (few types at any given time and one dominating type lasting a long time). When the birth rate is supercritical we get a phylogenetic tree consistent with an HIV tree (many types at any given time, none lasting very long).

研究の動機と目的

• 突然変異、死滅、適応度選択の3要素のみを用いて、インフルエンザとHIVの対照的な系統樹構造を再現する最小限の確率的モデルの構築。
• 同じ根本的メカニズム（突然変異）が、なぜ1つの優位系統（インフルエンザ）と多数の共存系統（HIV）をもたらすのかを説明すること。
• 変動する突然変異率の下で、優位タイプの長期的存続行動を分析すること。
• 突然変異率 $\lambda$ とその結果得られる系統樹の構造的性質との間の数学的リンクを確立すること。

提案手法

• タイプ数に関する連続時間の出生死滅過程としてのモデルの進化を定式化：出生率 $n\lambda$、$n \geq 2$ のとき死滅率 $n$。
• 各新しいタイプに、$[0,1]$ 上の一様分布から独立に適応度値を割り当てる。
• 各死滅イベントにおいて、最も適応度が低いタイプが除去され、適応度順位に基づく選択が保証される。
• 最大タイプ（任意の時点で最高の適応度を持つタイプ）を定義し、時間間隔にわたる存続を追跡する。
• 再生理論と再生報酬過程を用いて、単一タイプに戻るまでの時間（$\lambda < 1$）または新たな最大値に到達するまでの時間（$\lambda > 1$）を分析する。
• 大数の法則、分布収束、安定極限定理（例：指数 $1/2$ の安定的サブディリゲーター）を適用し、漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 突然変異、死滅、適応度に基づく選択を含む単純な確率的モデルが、インフルエンザとHIVの顕著な異なる系統樹形状を再現できるか？
• RQ2 突然変異率 $\lambda$ が、系統樹における優位（最も適応度が高い）タイプの存続にどのように影響するか？
• RQ3 $t \to \infty$ のとき、時間 $\alpha t$ における優位タイプが時間 $t$ まで存続する極限確率は何か？
• RQ4 突然変異率 $\lambda < 1$、$\lambda = 1$、$\lambda > 1$ の各状況において、モデルの挙動はどのように定性的に変化するか？
• RQ5 インフルエンザの系統樹はスリムで、HIVの系統樹はボリューミィであるが、両者とも突然変異に起因するという事実を説明する数学的メカニズムは存在するか？

主な発見

• $\lambda < 1$ のとき、時間 $\alpha t$ における優位タイプが時間 $t$ まで存続する確率は、$t \to \infty$ のとき $\alpha$ に収束する。これは、最も適応度が高い系統が長期間にわたり存続することを示している。
• $\lambda > 1$ のとき、時間 $\alpha t$ から $t$ まで優位タイプが存続する確率は 0 に収束する。これは、急速な入れ替わりと多数の共存タイプを示している。
• $\lambda = 1$ のとき、存続確率の極限も $\alpha$ である。これは、$S_{N(\alpha t)} / S_{N(t)}$ の収束を介して導出される。
• $\lambda = 1$ の下で、タイプ数 $S_n$ は分布的に $n^2$ のように増加し、指数 $1/2$ の安定分布に一致する。
• $\lambda < 1$ の下で、存続確率が $\alpha$ に収束することは、再生理論と有界収束定理を用いて確立された。
• $\lambda > 1$ の下で、$S_n / n$ が有限極限に収束することは、ランダムウォークのカップリングと劣化収束定理を用いて示され、結果として存続確率が極限で消えることが保証された。