[論文レビュー] A strong and weak approximation scheme for stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion

Ernest Jum, Kei Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、一般の逆劣化部分確率過程によって制御される時間変更ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式（SDE）のための新しい離散化スキームを提案する。Euler–Maruyama法と逆劣化部分確率過程の精密な近似を組み合わせることで、Burkholderの不等式を用いて導出されたより鋭い誤差推定を用いて、強収束の次数 $1/2$ および弱収束の次数 $1$ を確立した。これは従来の手法を改善するものである。

ABSTRACT

This paper establishes a discretization scheme for a large class of stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion with drift, where the time change is given by a general inverse subordinator. The scheme involves two types of errors: one generated by application of the Euler-Maruyama scheme and the other ascribed to simulation of the inverse subordinator. With the two errors carefully examined, the orders of strong and weak convergence are derived. Numerical examples are attached to support the convergence results.

研究の動機と目的

• 時間依存係数を有する一般の時間変更ブラウン運動によって駆動されるSDEのための数値スキームの開発。
• Euler–Maruyama離散化と逆劣化部分確率過程のシミュレーションという二重の課題を統一的な枠組みで扱う。
• 時間変更SDEの文脈において、強収束および弱収束の両方の収束速度を厳密に確立する。
• Burkholderの不等式を用いた技術的拡張により、Euler–Maruyamaスキームの既存の誤差推定を改善し、より緊密な収束解析を可能にする。

提案手法

• スキームは、時間変更領域におけるSDEにEuler–Maruyama法を適用し、逆劣化部分確率過程のジャンプ時刻に整合する離散時間ステップを用いる。
• 逆劣化部分確率過程は、対応する部分確率過程のサンプルパスに基づく離散化戦略により近似され、時間変更のシミュレーションが可能になる。
• 時間変更SDEを元の時間スケールにおける標準的SDEに結びつけるために、先行研究の双対性原理が活用される。
• 誤差解析では、Euler–Maruyamaスキームの寄与と逆劣化部分確率過程の近似の寄与を分離し、前者はBurkholderの不等式の新規応用により解析される。
• 離散化された時間変更 $E_\delta$ を用いて、区分定数近似 $Y_\delta(t)$ が構築され、経路ごとの整合性が保証される。
• 数値的妥当性は、指数的温度付き安定分布を有する時間変更ブラウン運動SDEを用い、$X \circ E_\delta$ を用いた近似解とほぼ正確な解とを比較して検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の逆劣化部分確率過程によって制御される時間変更ブラウン運動によって駆動されるSDEに適用される数値スキームの強収束次数は何か？
• RQ2 同様の条件下で、そのスキームの弱収束次数は何か？
• RQ3 標準的手法を越えて、例えばBurkholderの不等式を用いることで、Euler–Maruyamaスキームのより鋭い誤差推定を導出可能か？
• RQ4 Euler–Maruyama離散化と逆劣化部分確率過程の近似という二つの異なる誤差要因が、全体の収束速度にどのように寄与しているか？
• RQ5 数値的結果は、実際のシミュレーションにおいて理論的収束次数がどの程度確認可能か？

主な発見

• 提案スキームの強収束次数は $1/2$ であり、定理11で確立された理論的上限と整合的である。
• 弱収束次数は $1$ であり、定理14によって確認され、最小二乗法による傾き $1.1882$ の数値実験によって支持されている。この値は $1.0$ に近づいている。
• Burkholderの不等式を用いたEuler–Maruyamaスキームの新たな誤差推定が導出され、古典的手法よりも鋭い境界をもたらし、強収束の証明に不可欠である。
• 数値的結果から、強誤差推定 $\mathrm{STERR}(\delta)$ は $\log_2$ スケールで傾き $0.5338$ を示し、$0.5$ 略上方に位置しており、理論的 $\delta^{1/2}$ 速度と整合的であることが示された。
• 弱誤差推定 $\mathrm{WKERR}(\delta)$ は傾き $1.1882$ を示し、理論的 $\delta^1$ 速度に近く、サンプルサイズの増加に伴い期待される収束次数に近づいていることが示された。
• 本スキームは、時間依存係数を有するSDEおよび一般の逆劣化部分確率過程を適切に扱うことができ、定数係数および特定の部分確率過程に限られた先行研究を拡張している。