[論文レビュー] A Structure Preserving Krylov Subspace Method for Large Scale Differential Riccati Equations

Antti Koskela, Hermann Mena|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Matrix Theory and Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、行列Aおよび初期条件X₀と強制項Qの低ランク因子によって生成されるKrylov部分空間に問題を射影することにより、大規模な対称微分リッカチ方程式を解く構造保存型Krylov部分空間法を提案する。この手法は、正確な解の流れの正値性および単調性を保存し、数値実験により確認された超線形収束を示す。また、効率的な後験的誤差推定およびランク切断戦略を備えている。

ABSTRACT

We consider a Krylov subspace approximation method for the symmetric differential Riccati equation $\dot{X} = AX + XA^T + Q - XSX$, $X(0)=X_0$. The method we consider is based on projecting the large scale equation onto a Krylov subspace spanned by the matrix $A$ and the low rank factors of $X_0$ and $Q$. We prove that the method is structure preserving in the sense that it preserves two important properties of the exact flow, namely the positivity of the exact flow, and also the property of monotonicity. We also provide a theoretical a priori error analysis which shows a superlinear convergence of the method. This behavior is illustrated in the numerical experiments. Moreover, we derive an efficient a posteriori error estimate as well as discuss multiple time stepping combined with a cut of the rank of the numerical solution.

研究の動機と目的

• 制御およびモデル還元において生じる大規模な対称微分リッカチ方程式に対して、数値的に効率的かつ構造保存型の手法を開発すること。
• 数値解が正確な流れの重要な幾何的性質、特に正値性および単調性を保証すること。
• 収束解析および実装のための事前および事後誤差推定を提供すること。
• 適応的時間刻みと低ランク近似技術を用いて、効率的な時間積分を可能にすること。

提案手法

• 本手法は、大規模な微分リッカチ方程式を、行列Aおよび初期条件X₀と強制項Qの低ランク因子によって生成されるKrylov部分空間に射影する。
• ガレルキン射影を用いて、元の式を近似する低次元動的システムを導出する。
• 低次元システムは元の式の構造を維持するため、数値解が正確な流れの正値性および単調性を継承する。
• 適応的時間刻みのための後験的誤差推定器が導出され、解の精度を保証する。
• 計算コストを制御し、低ランク構造を維持するために、定期的にランク切断が適用される。
• 精度と効率のバランスを保つために、適応的時間刻みと低ランク更新を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な微分リッカチ方程式において、正確な解の流れの正値性および単調性を保存するKrylov部分空間法を設計できるか？
• RQ2 提案された構造保存型Krylov法の収束特性は何か？また、超線形収束を達成できるか？
• RQ3 低ランク微分リッカチ方程式の文脈において、効率的な後験的誤差推定器を構築するにはどうすればよいか？
• RQ4 ランク切断は数値解の精度および安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 適応的時間刻みを効果的に低ランク更新と組み合わせるにはどうすればよいか？

主な発見

• 提案手法は、正確な解の流れの正値性および単調性を保存し、数値近似の幾何的忠実性を保証する。
• 理論的事前解析および数値実験により、超線形収束を示すことが確認された。
• 効率的な後験的誤差推定器が導出され、信頼性のある適応的時間刻みと誤差制御が可能になった。
• 数値実験により、適応的時間刻みと低ランク切断を組み合わせることで、精度を維持しながら計算コストを削減できることを示した。
• ランク削減に対しても高い精度を維持し、長時間シミュレーションにおいても頑健であることが示された。