[论文解读] A survey of Heisenberg categorification via graphical calculus

Anthony Licata, Alistair Savage|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文全面综述了通过平面图示演算与导出范畴，对无限秩 Heisenberg 代数及其 Fock 空间表示的图形化范畴化。它统一了基于 Hecke 代数与 Hilbert 空间上同调的弱范畴化与近期的强范畴化，展示了如何通过图示演算与几何构造，使 Grothendieck 群恢复原始代数结构。

ABSTRACT

In this expository paper we present an overview of various graphical categorifications of the Heisenberg algebra and its Fock space representation. We begin with a discussion of "weak" categorifications via modules for Hecke algebras and "geometrizations" in terms of the cohomology of the Hilbert scheme. We then turn our attention to more recent "strong" categorifications involving planar diagrammatics and derived categories of coherent sheaves on Hilbert schemes.

研究动机与目标

• 提供无限秩 Heisenberg 代数及其 Fock 空间表示的弱与强范畴化的统一概述。
• 解释平面图示演算与相干层的导出范畴如何实现强范畴化。
• 将通过 Hilbert 空间上同调实现的几何实现与受 Khovanov 工作启发的图示范畴化联系起来。
• 阐明图示演算在将代数结构提升至更高范畴层次中的作用。
• 强调开放问题，并指出与顶点算子代数及椭圆 Hall 代数等相关结构的联系。

提出的方法

• 使用图示演算定义一个范畴，其生成元与关系对应 Heisenberg 代数的对易关系。
• 通过平面图示演算构造强范畴化，对 Khovanov 原始构造进行 q-变形。
• 应用 ADE 表面奇点上点的 Hilbert 空间上相干层的导出范畴，以实现几何范畴化。
• 利用 Grothendieck 群构造，从范畴结构中恢复原始 Heisenberg 代数与 Fock 空间。
• 整合 Nakajima、Grojnowski 等人关于 Hilbert 空间上同调的结果，作为 Fock 空间的几何模型。
• 通过图示与几何手段，比较基于 Hecke 代数与对称群模的弱范畴化与强范畴化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过平面图示演算对无限秩 Heisenberg 代数进行范畴化？
• RQ2 图示范畴化与通过点的 Hilbert 空间实现的几何实现之间存在何种关系？
• RQ3 基于 Hecke 代数与 Hilbert 空间上同调的弱范畴化如何提升为强范畴化？
• RQ4 Hilbert 空间上相干层的导出范畴在何种意义上对 Fock 空间提供了强范畴化？
• RQ5 Heisenberg 代数范畴化与顶点算子代数、椭圆 Hall 代数等其他结构之间存在何种联系？

主要发现

• 对称群与 Hecke 代数模范畴的 Grothendieck 群实现了 Fock 空间表示，提供了弱范畴化。
• ADE 表面奇点的点的 Hilbert 空间上同调几何地实现了 Fock 空间，提供了该表示的几何化。
• 通过平面图示演算的强范畴化提升了基于 Hecke 代数的弱范畴化，关系由图示演算编码。
• 通过 q-变形图示演算实现了量化 Heisenberg 代数的范畴化，推广了 Khovanov 的构造。
• 在 $\mathbb{C}^2$ 上点的 Hilbert 空间上相干层的导出范畴提供了 Fock 空间的强范畴化，与椭圆 Hall 代数及 Macdonald 多项式相关联。
• 本文指出了开放问题，例如将 Hilbert 空间上的局部化等变 K-理论构造提升为强范畴化。