[論文レビュー] A Survey of Lower Bound on the van Der Waerden Number $W(k,2)$

William Gasarch, Bernhard Haeupler|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特にロヴァーズ・ローカル・レームマを用いた確率的証明を、確率的構成的および決定的構成的アルゴリズムに変換することで、van der Waerden数 W(k,2) の非構成的下界を再考する。効率的な2色塗り分けの生成法を示すことで、従来非構成的であった結果をアルゴリズム的に実現可能にする。

ABSTRACT

The van der Waerden number W(k,2) is the smallest integer n such that every 2-coloring of 1 to n has a monochromatic arithmetic progression of length k. The existence of such an n for any k is due to van der Waerden but known upper bounds on W(k,2) are enormous. Much effort was put into developing lower bounds on W(k,2). Most of these lower bound proofs employ the probabilistic method often in combination with the Lovasz Local Lemma. While these proofs show the existence of a 2-coloring that has no monochromatic arithmetic progression of length k they provide no efficient algorithm to find such a coloring. These kind of proofs are often informally called nonconstructive in contrast to constructive proofs that provide an efficient algorithm. This paper clarifies these notions and gives definitions for deterministic- and randomized-constructive proofs as different types of constructive proofs. We then survey the literature on lower bounds on W(k,2) in this light. We show how known nonconstructive lower bound proofs based on the Lovasz Local Lemma can be made randomized-constructive using the recent algorithms of Moser and Tardos. We also use a derandomization of Chandrasekaran, Goyal and Haeupler to transform these proofs into deterministic-constructive proofs. We provide greatly simplified and fully self-contained proofs and descriptions for these algorithms.

研究の動機と目的

• W(k,2) の下界に関する非構成的、確率的構成的、決定的構成的証明の違いを明確化すること。
• ロヴァーズ・ローカル・レームマを用いた構成的枠組みで、既知の非構成的下界を再導出すること。
• Moser-Tardosのアルゴリズム的バージョンを用いて、確率的下界証明を効率的な確率的構成的アルゴリズムに変換すること。
• これらのアルゴリズムをさらに決定的化して、有効な2色塗り分けの存在を保証する決定的構成的証明を生成すること。
• 理解可能で実装可能な、簡潔で自己完結的な証明およびアルゴリズム記述を提示すること。

提案手法

• 既存の非構成的下界証明を、確率的法則とロヴァーズ・ローカル・レームマを基盤として再定式化する。
• Moser-Tardosのアルゴリズム的フレームワークを適用し、存在証明を効率的な有効な2色塗り分けを求める確率的構成的アルゴリズムに変換する。
• Chandrasekaran, Goyal, Haeupler の決定的化技術を用いて、確率的アルゴリズムを決定的構成的手続きに変換する。
• 確率的議論とアルゴリズム的ステップを簡素化し、完全に自己完結的かつ理解しやすい形に再導出する。
• 実装可能性を保証するため、変数の代入や依存関係のチェックなどのアルゴリズム的プロセスの明確な記述を提供する。
• 証明とアルゴリズムの提示において数学的厳密性を保ちつつ、技術的負担を低減し、明確さを向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロヴァーズ・ローカル・レームマに基づく非構成的下界証明を、W(k,2) のアルゴリズム的構成に変換できるか？
• RQ2 van der Waerden数の文脈において、確率的構成的証明と決定的構成的証明の違いは何か？
• RQ3 Moser-Tardosのアルゴリズム的バージョンを用いて、単色の等差数列を含まない2色塗り分けをどのように生成できるか？
• RQ4 決定的化技術を用いて、確率的構成をW(k,2)の決定的アルゴリズムに変換できるか？
• RQ5 どのような簡素化・自己完結的導出が、これらの高度な確率的構成を理解可能かつ実装可能にするか？

主な発見

• 本論文は、Moser-Tardosフレームワークを用いて、既知の非構成的下界証明を確率的構成的アルゴリズムに成功して変換した。
• ロヴァーズ・ローカル・レームマに基づく証明が、Moser-Tardosのアルゴリズムによってアルゴリズム的に有効であることが示された。
• 確率的構成的アルゴリズムは、{1, ..., n} の2色塗り分けにおいて、長さkの単色の等差数列を含まない効率的な確率的手続きを提供する。
• 決定的化技術を適用することで、これらの確率的アルゴリズムを、そのような色塗り分けの存在を保証する決定的構成的手続きに変換した。
• 得られた証明とアルゴリズムは簡素で自己完結的であり、直接的な実装と理解が可能である。
• 本研究は、W(k,2) の下界に関する構成的性の階層（非構成的、確率的構成的、決定的構成的）を明確に確立した。