[논문 리뷰] A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis

Etienne de Klerk, Monique Laurent|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 13.

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한 줄 요약

이 논문은 일반화된 모멘트 문제(GPM)에 대한 정수형 프로그래밍(SDP) 접근법을 조사하며, 계층적 근사의 수렴 속도에 초점을 맞춘다. 양의 Borel 측도 코너의 내부 및 외부 코어 근사에 대해 분석하여, 단-simplex와 초입방체에서 외부 근사의 오차 한계가 O(1/r)로 감소하는 것을 보이고, 특정 조건 하에서 내부 근사는 O(1/r²) 수렴 속도를 달성한다. 이는 수직 다항식과 적분 규칙과의 연결을 포함한다.

ABSTRACT

The generalized problem of moments is a conic linear optimization problem over the convex cone of positive Borel measures with given support. It has a large variety of applications, including global optimization of polynomials and rational functions, option pricing in finance, constructing quadrature schemes for numerical integration, and distributionally robust optimization. A usual solution approach, due to J.B. Lasserre, is to approximate the convex cone of positive Borel measures by finite dimensional outer and inner conic approximations. We will review some results on these approximations, with a special focus on the convergence rate of the hierarchies of upper and lower bounds for the general problem of moments that are obtained from these inner and outer approximations.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 모멘트 문제(GPM)에 대한 정수형 프로그래밍(SDP) 접근법에 대한 종합적 서베이를 제공하기 위해.
• 양의 Borel 측도 코너의 내부 및 외부 코어 근사로부터 유도된 계층적 상한 및 하한의 수렴 속도를 분석하기 위해.
• 구형, 단-simplex, 초입방체와 같은 다양한 기하 설정 하에서 내부 및 외부 근사 계층의 정량적 오차 한계를 수립하기 위해.
• 근사 계층과 수직 다항식, 적분 규칙, 분포로 저항력 있는 최적화 간의 연결 고리를 탐색하기 위해.
• 특히 외부 근사의 수렴 속도 분석을 향상시키기 위한 개방 문제와 향후 연구 방향을 규명하기 위해.

제안 방법

• 콤��� 집합 K ⊆ ℝⁿ 에 지지된 양의 Borel 측도의 코너 위에서의 코어 선형 프로그래밍으로 GPM을 수식화하기 위해.
• Lasserre의 계층적 외부 근사법을 적용하여 다항식의 제곱 합(SOS) 표현을 사용해 하한을 생성하고, 이를 정수형 프로그래밍으로 구현하기 위해.
• 모멘트 행렬과 국소화 행렬 기반의 내부 근사를 통해 상한을 생성하고, SDP 완화를 통해 이를 실현하기 위해.
• 무한차원 공간에서의 쌍대 이론을 활용하여, Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리와 약한* 위상 구조를 이용해 미약 조건 하에서도 강한 쌍대성을 확보하기 위해.
• 다항식 표현의 근사 품질을 degree r 기반으로 분석하여 오차 한계를 유도하기 위해, 구형에서의 조화 분석 및 수직 다항식 도구를 사용하기 위해.
• 구형 조화 다항식과 de Finetti 유형 결과를 활용하여, 특히 단위 구면에서 내부 및 외부 근사 간 격차를 제한하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단-simplex와 초입방체에서 GPM에 대한 외부 근사 계층의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 내부 및 외부 근사의 수렴 속도를 비교하면 어떻게 되는가? 특히 1/r² 대비 1/r 감소 행동을 고려할 때.
• RQ3 구면에서의 SDP 계층과 적분 규칙 간의 연결 고리를 형식화하고 오차 분석에 활용할 수 있는가?
• RQ4 내부 근사 계층의 수렴에 있어 기준 측도의 선택이 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 왜 외부 근사는 이론적으로는 더 느린 수렴 속도를 보이지만 실제로는 더 빠른 성능을 보이는가? 이 격차는 어떻게 메워질 수 있는가?

주요 결과

• 단-simplex K = ∆ⁿ 과 차수 d의 동차 다항식 p에 대해, 외부 근사 오차는 모든 r ≥ d 에 대해 minₓ∈∆ⁿ p(x) − val(r)ₗₑₙₜₕ ≤ Cd / r 를 만족하며, Cd > 0 는 d 에만 의존한다.
• 초입방체 K = [0,1]ⁿ 에서, 외부 근사 오차는 모든 r ≥ d 에 대해 nd · ((d+1)/3) · Lₚ / r 로 유계이다. 여기서 Lₚ 는 p 의 리프시츠 상수이다.
• 단위 구면에서, 적절한 조건 하에 내부 근사 계층은 O(1/r²) 수렴 속도를 달성하며, 오차 한계는 구형 조화 전개와 de Finetti 유형 정리에 의해 도출된다.
• 외부 근사 계층은 일부 경우에 유한 수렴을 보이며, 전역 최소값 해를 추출할 수 있어, 이론적 수렴 속도가 더 느리더라도 계산적으로 더 실용적이다.
• 내부 근사 오차 한계는 외부 근사보다 더 날카롭게, 내부는 O(1/r²)로 감소하고 외부는 O(1/r)로 감소하므로, 내부 계층이 점점 더 뛰어난 점근적 성능을 보임을 시사한다.
• 내부 근사 계층의 분석은 기준 측도의 선택에 민감하며, 보다 광범위한 콤팩트 집합 K 에 대해 O(1/r²) 수렴 속도를 일반화하기 위한 추가 연구가 필요하다.