[論文レビュー] A Survey of Shortest-Path Algorithms

Loutfy H. Madkour, Walid G. Aref+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 116被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、最短経路アルゴリズムの包括的な分類体系を提示し、グラフの種別（静的／動的）、解法の種別（正確／近似）、問題の変種（SSSP、APSP、時変、確率的など）に基づいて分類する。最先端のアルゴリズムを概説し、実行時間と事前処理のトレードオフを強調し、応用固有の制約に基づいて最適なアルゴリズムを選定するための構造的ガイドラインを提供する。

ABSTRACT

A shortest-path algorithm finds a path containing the minimal cost between two vertices in a graph. A plethora of shortest-path algorithms is studied in the literature that span across multiple disciplines. This paper presents a survey of shortest-path algorithms based on a taxonomy that is introduced in the paper. One dimension of this taxonomy is the various flavors of the shortest-path problem. There is no one general algorithm that is capable of solving all variants of the shortest-path problem due to the space and time complexities associated with each algorithm. Other important dimensions of the taxonomy include whether the shortest-path algorithm operates over a static or a dynamic graph, whether the shortest-path algorithm produces exact or approximate answers, and whether the objective of the shortest-path algorithm is to achieve time-dependence or is to only be goal directed. This survey studies and classifies shortest-path algorithms according to the proposed taxonomy. The survey also presents the challenges and proposed solutions associated with each category in the taxonomy.

研究の動機と目的

• 最短経路アルゴリズムの多様な分野における統一された分類システムの欠如に対処すること。
• グラフの動的性、解法の正確性、問題の目的に基づいて、最短経路問題の主要な変種を特定・分類すること。
• 応用要件をアルゴリズムのカテゴリにマッピングすることで、研究者および実務家が適切なアルゴリズムを選定できるようにガイドすること。
• 各カテゴリにおける時間、空間、事前処理の複雑さのトレードオフを踏まえた最先端の解決策を要約すること。
• 動的、確率的、パrametric、目的指向の最短経路計算における未解決の課題と研究方向性を強調すること。

提案手法

• 静的対動的グラフ、正確対近似解法、および代替経路や代替パスなど問題固有の変種を含む、多次元の分類体系を提唱する。
• アルゴリズムをコアカテゴリに分類：単一始点（SSSP）、全点対全点（APSP）、目的指向、距離オラクル、時変、確率的、パrametric、重み付き領域問題。
• 静的および距離オラクル設定において、クエリ時間を短縮するがストレージと事前計算のコストが増加する前処理戦略を分析する。
• 辺の挿入・削除・重みの更新に対応する動的グラフ用のアルゴリズムをレビューし、完全動的および部分動的バージョンを含む。
• 制約付き経路問題のための特殊なアルゴリズムを検討する。特に、特定の辺を避ける「代替経路（replacement path）」と、事前に指定されない頂点や辺を避ける「代替パス（alternative path）」。
• 解の正確性を犠牲にして計算コストを削減する近似アルゴリズム（例：パスネットやスパンナ）を評価し、特に平面的・空間的グラフにおいて高速化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様な最短経路アルゴリズムを、特定の用途における発見性と選定性を向上させるために、どのように体系的に分類できるか？
• RQ2 静的および動的最短経路アルゴリズムにおいて、事前処理時間、ストレージ、クエリ時間の主なトレードオフは何か？
• RQ3 どのような状況で近似アルゴリズムが正確なアルゴリズムを上回るのか？また、解の品質についてどのような保証が得られるか？
• RQ4 代替経路アルゴリズムと代替パスアルゴリズムは、特に動的または制約付き環境において、設計および性能面でどのように異なるか？
• RQ5 空間的・平面的分割領域における最短経路問題（例：重み付き領域問題）の計算上の課題と最先端の解決策は何か？

主な発見

• 分類体系により、グラフの種別（静的対動的）、解法の種別（正確対近似）、問題の変種（SSSP、APSP、時変など）に基づき、最短経路アルゴリズムの体系的ナビゲーションが可能になる。
• Dijkstra法やFloyd-Warshall法といった静的アルゴリズムは依然として基盤的であるが、距離オラクルや前処理技術により、ストレージの増加を犠牲にしてもクエリ時間は著しく短縮可能である。
• 代替経路アルゴリズムは、近似的に線形時間で計算可能である：重み付き平面グラフでは、$O(n \text{log}^3 n)$ の事前処理時間と $O(h \text{log} \text{log} n)$ のクエリ時間で実現可能。
• モンテカルロ乱択アルゴリズムにより、無重みグラフでは $\tilde{O}(m\tilde{\text{log}}\tilde{n})$ 時間で処理可能であり、以前の境界を $\tilde{\text{log}}\tilde{n}$ 倍改善している。
• 近似 $(1+\tilde{\text{epsilon}})$ の代替経路アルゴリズムは、$\tilde{O}(m \text{log}(nC/c)/\tilde{\text{epsilon}})$ 時間で実行可能であり、大規模グラフにおいてスケーラブルな解決策を可能にする。
• 重み付き領域問題においては、パスネット構築により、$(1+\tilde{\text{epsilon}})$-近似解が $O(kn^3)$ 時間で得られ、$O(kn)$ 個の頂点を用い、屈折の法則（Snellの法則）を応用して実現される。