[論文レビュー] A Symplectic Hamiltonian Derivation of Quasilocal Energy-Momentum for GR

Chiang-Mei Chen, James M. Nester|ArXiv.org|Jan 27, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、境界項を含むシンプレクティックハミルトニアンアプローチを用いて一般相対性理論における準局所的エネルギー運動量を導出し、Dirichletおよびノイマン境界条件に対応する2つの共変な表現が自然に生じることを示している。アインシュタインおよびモーラーの擬テンソルは物理的に動機づけられたものではあるが、それらの限界も明らかにしている。一方、完全に共変なハミルトニアンを導出し、良好なシンプレクティック構造をもたらし、特定の条件下でカッツの式と一致する。

ABSTRACT

The various roles of boundary terms in the gravitational Lagrangian and Hamiltonian are explored. A symplectic Hamiltonian-boundary-term approach is ideally suited for a large class of quasilocal energy-momentum expressions for general relativity. This approach provides a physical interpretation for many of the well-known gravitational energy-momentum expressions including all of the pseudotensors, associating each with unique boundary conditions. From this perspective we find that the pseudotensors of Einstein and Møller (which is closely related to Komar's superpotential) are especially natural, but the latter has certain shortcomings. Among the infinite possibilities, we found that there are really only two Hamiltonian-boundary-term quasilocal expressions which correspond to {\em covariant} boundary conditions; they are respectively of the Dirichlet or Neumann type. Our Dirichlet expression coincides with the expression recently obtained by Katz and coworkers using Noether arguments and a fixed background. A modification of their argument yields our Neumann expression.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における準局所的重力的エネルギー運動量を定義する長年の曖昧性を解消すること。
• 特定の境界条件と関連付けることで、物理的に意味のある準局所的エネルギー運動量表現を同定すること。
• 一般相対性理論に対して、完全に共変な準局所的表現がディリクレおよびノイマン境界条件に対応してたった2つしか存在しないことを示すこと。
• 擬テンソルに基づく手法と境界項を含むハミルトニアン枠組みを統合し、物理的解釈を提供し、恣意的さを減らすこと。
• 境界項を含む完全に共変なハミルトニアン密度を導出し、良好なシンプレクティック構造をもたらし、適切な極限において既知の結果と一致すること。

提案手法

• シンプレクティックハミルトニアン形式を用い、有限な時空領域におけるハミルトニアンを導出し、準局所的エネルギー運動量を決定する表面項を含む。
• ハミルトニアンの変分における境界項が、関連する境界条件を支配することを示し、エネルギー運動量表現と幾何学的制約の間の関連を明確にした。
• 微分形式法とは対照的に、ホロノミック（座標基底）形式を用いることで、一般相対性理論への適用がより広範な読者に容易になる。
• ハミルトニアンの変分を分析することで、完全に共変な準局所的表現をもたらす2つの異なる境界条件（ディリクレおよびノイマン）を同定した。
• 境界上に参照配置を組み込むことで、カッツやコマールの式など既存の表現と比較可能になった。
• ヒルベルトラグランジアンを用い、コンバル・スーパーポテンシャルの代わりに改善された境界項を導入することで、完全に共変なハミルトニアン密度を構築し、漸近的になめらかさを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論におけるどの準局所的エネルギー運動量表現が物理的に意味があり、明確な境界条件に対応するか？
• RQ2 なぜアインシュタインの擬テンソルやモーラーの擬テンソルがこの枠組みで自然に生じるのか、それらの限界は何か？
• RQ3 擬テンソルの曖昧性を回避する完全に共変な準局所的エネルギー運動量表現を導出できるか？
• RQ4 特にディリクレおよびノイマン型の境界条件が、準局所的エネルギー運動量の形に果たす役割は何か？
• RQ5 シンプレクティックハミルトニアンアプローチは、ネーターの定理や背景依存的手法といった、重力的エネルギーの異なる定式化をどのように統合するか？

主な発見

• 一般相対性理論に対して、完全に共変な準局所的エネルギー運動量表現は、ディリクレおよびノイマン境界条件に対応してたった2つしか存在しない。
• 本研究で得られたディリクレ表現は、固定背景を用いたネーターの定理によるカッツらの結果と完全に一致する。
• ノイマン表現はカッツの議論の修正版として導出され、ハミルトニアン・境界項枠組みにおいて、異なる手法間の整合性を示している。
• モーラーの擬テンソルはこの枠組みで自然に生じるが、他の擬テンソルよりも追加の欠陥を有する。
• 改善された境界項はコンバル・スーパーポテンシャルを置き換え、ハミルトニアンの変分が空間的および光的無限遠で良好に振る舞う完全に共変なシンプレクティック構造をもたらす。
• 最終的なハミルトニアン密度および境界項は完全に4次元共変であり、定数のシフトベクトルに対しては標準的な式 (17)、(18)、(36)、および (38) に還元される。