[論文レビュー] A Tannakian Reconstruction Theorem for IndBanach Spaces

Kobi Kremnizer, Craig Smith|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、収縮コロイムおよびInd完備化を用いて、古典的なTannaka-Krein双対性を解析的状況へ一般化することで、IndBanach空間のTannakian再構成定理を確立する。主な貢献は、解析的量子群、有界コホモロジー、Galois降下に適用可能な双対性フレームワークを提供することであり、非アーチメデス的関数解析における位相群およびIwasawa代数の表現への明示的応用を含む。

ABSTRACT

Classically, Tannaka-Krein duality allows us to reconstruct a (co)algebra from its category of representation. In this paper we present an approach that allows us to generalise this theory to the setting of Banach spaces. This leads to several interesting applications in the directions of analytic quantum groups, bounded cohomology and galois cohomology. A large portion of this paper is dedicated to such examples.

研究の動機と目的

• Banach空間における古典的コロイム性質の失敗を克服しつつ、Tannaka-Krein双対性をIndBanach空間の圏へ拡張すること。
• 解析的状況における表現圏からコールゲブラおよびバイアリブレアを再構成するためのフレームワークを構築すること。
• IndBanach圏におけるトポロジカル群の有界コホモロジー、解析的グレーディング、およびIndBanach圏のGalois降下に理論を適用すること。
• 誘導関手を介して滑らかな表現とIndBanach加群の間のモノイダル同値を確立すること。
• 特にプロファイントGalois群に対して、IndBanachおよびBornological設定におけるIwasawa代数を定義し、それらを分析すること。

提案手法

• Banach空間の圏のInd完備化を用いて、ココアムプレート性を回復し、コロイム構成を可能にする。
• Banach空間圏における収縮コロイムを導入し、ベクトル空間がコロイムにおいて持つ重要な性質を回復する。
• IndBanach加群およびIndBanach代数およびコールゲブラ上のコモジュールを定義し、表現圏の一般化を図る。
• Barr-Beckのモノイダル性定理を適用して、表現関手のコモノイダル性を確立し、コモノイドを介した再構成を可能にする。
• $L$-コモジュールから$C^{\text{lu}}(G,k)$-コモジュールへの誘導関手$\text{Ind}_\phi$を構成し、非アーチメデス的状況で完全かつ忠実であることを示す。
• 開正規部分群の下での極限としてIwasawa代数$\Lambda_A^{\text{Born}}(G)$を定義し、Hom関手を介して$C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$と双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tannaka-Krein双対性は、代数的状況から解析的状況、特にIndBanach空間へ拡張可能か？
• RQ2 トポロジカル群の有界コホモロジーは、IndBanachバイアリブレア上のコモジュールを用いてどのように再解釈可能か？
• RQ3 解析的量子群を構成するにあたり、解析的グレーディングおよび過収束べき級数の役割は何か？
• RQ4 IndBanach圏のGalois降下は、Iwasawa代数上のコモジュールとどのように関係するか？
• RQ5 Iwasawa代数は、プロファイント群上の局所一様連続関数空間とどのような意味で双対的か？

主な発見

• 滑らかな表現の圏$\Gamma\text{-Mod}_L^{\text{sm}}$は、誘導関手$V \mapsto L\hat{\otimes}_K V$を介して$\text{IndBan}_K$とモノイダル同値である。
• 誘導関手$\text{Ind}_\phi$は完全かつ忠実であり、非アーチメデス的状況では完全忠実である。これにより、降下データの再構成が可能になる。
• Banach的Iwasawa代数$\Lambda_L^{\text{Ban}}(\Gamma)$は、$L$-加群として$C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$の双対と同型である。
• Bornological Iwasawa代数$\Lambda_{L^a}^{\text{Born}}(\Gamma)$は、$L^a$-加群として$C^{\text{lc}}(\Gamma,L^a) \cong L^a \otimes_K L^a$と双対である。
• $C^{\text{lu}}(G,k)$-コモジュール上のコモジュール構造は、$\Gamma$が$L$に作用することに対応し、この作用は$K$-IndBanach空間を$L$-IndBanach空間から再構成するための降下データを提供する。
• トポロジカル群$G$の有界コホモロジーは、$G\text{-Mod}^{\text{iso}}$上のモノイダルコモノイド関手のコホモロジーとして実現され、$G$がコンパクトであれば、これはIndBanachバイアリブレア上のコモジュール圏と同値である。