[論文レビュー] A Time Hierarchy Theorem for the LOCAL Model

Yi‐Jun Chang, Seth Pettie|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、k ∈ ℤ⁺ に対して時間計算量が Θ(n^{1/k}) である階層的彩色問題の族を導入することで、分散計算の LOCAL モデルにおける初の時間階層定理を確立した。これにより、より多くの時間が与えられることで、より多くの問題を解けることが示された。さらに、複雑性の地図にギャップが存在することを明らかにし、対数時間未満のランダム化アルゴリズムは O(T_{LLL}) 時間に高速化可能であり、木構造における非ランダム化アルゴリズムは、O(log n) 時間に自動的に非ランダム化可能であることを示した。

ABSTRACT

The celebrated Time Hierarchy Theorem for Turing machines states, informally, that more problems can be solved given more time. The extent to which a time hierarchy-type theorem holds in the distributed LOCAL model has been open for many years. It is consistent with previous results that all natural problems in the LOCAL model can be classified according to a small constant number of complexities, such as $O(1),O(\log^* n), O(\log n), 2^{O(\sqrt{\log n})}$, etc. In this paper we establish the first time hierarchy theorem for the LOCAL model and prove that several gaps exist in the LOCAL time hierarchy. 1. We define an infinite set of simple coloring problems called Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring}. A correctly colored graph can be confirmed by simply checking the neighborhood of each vertex, so this problem fits into the class of locally checkable labeling (LCL) problems. However, the complexity of the $k$-level Hierarchical $2\frac{1}{2}$-Coloring problem is $Θ(n^{1/k})$, for $k\in\mathbb{Z}^+$. The upper and lower bounds hold for both general graphs and trees, and for both randomized and deterministic algorithms. 2. Consider any LCL problem on bounded degree trees. We prove an automatic-speedup theorem that states that any randomized $n^{o(1)}$-time algorithm solving the LCL can be transformed into a deterministic $O(\log n)$-time algorithm. Together with a previous result, this establishes that on trees, there are no natural deterministic complexities in the ranges $ω(\log^* n)$---$o(\log n)$ or $ω(\log n)$---$n^{o(1)}$. 3. We expose a gap in the randomized time hierarchy on general graphs. Any randomized algorithm that solves an LCL problem in sublogarithmic time can be sped up to run in $O(T_{LLL})$ time, which is the complexity of the distributed Lovasz local lemma problem, currently known to be $Ω(\log\log n)$ and $O(\log n)$.

研究の動機と目的

• LOCAL モデルに時間階層が存在するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 分散計算における LCL 問題の自然な複雑性ギャップを特定・特徴づけること。
• 有界次数グラフにおけるランダム化および非ランダム化アルゴリズムの自動高速化定理を確立すること。
• サブローグ時間におけるランダムネスの役割と分散 Lovász 局所的補題 (LLL) の複雑性が、サブローグ時間 LCL 問題の複雑性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 時間計算量が k ∈ ℤ⁺ に対して Θ(n^{1/k}) である LCL 問題の族である「階層的 2½-彩色問題」を導入し、局所的に検証可能で、非ランダム化およびランダム化の両設定で解けることを示した。
• 自動高速化定理を証明：有界次数の木構造上で、o(1)-時間のランダム化アルゴリズムは、非ランダム化 O(log n)-時間アルゴリズムに変換可能である。
• 分散 LLL 問題を中心的な複雑性ベンチマークとして分析し、サブローグ時間のランダム化 LCL アルゴリズムは、T_{LLL} ∈ Ω(log log n) かつ O(log n) である O(T_{LLL}) 時間に高速化可能であることを示した。
• Naor と Stockmeyer による O(1)-時間 LOCAL アルゴリズムの特徴づけを再考し、リング、トーラス、木構造などの特定のグラフ族における暗黙の複雑性ギャップを計算した。
• 局所的シミュレーションとメッセージ伝達技術を用いて、有界メッセージサイズで、頂点が配置状態や LLL の悪い事象を局所的に検証できることを示した。
• これらの技術を応用して、メッセージサイズの上限を導出し、有界次数下で無限メッセージサイズのアルゴリズムを定数サイズのメッセージでシミュレート可能であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LOCAL モデルに、より多くの時間が与えられることで、より多くの問題を解けるような時間階層が存在するか？
• RQ2 サブローグ時間で実行されるランダム化アルゴリズムは、体系的に高速化可能であり、最小でどの程度の実行時間が達成可能か？
• RQ3 有界次数グラフにおける LCL 問題の非ランダム化およびランダム化 LOCAL 複雑性階層に、本質的な複雑性ギャップが存在するか？
• RQ4 木構造上で o(1)-時間のランダム化アルゴリズムはどの程度まで非ランダム化可能であり、最もタイトな非ランダム化時間境界は何か？
• RQ5 分散 Lovász 局所的補題 (LLL) は、サブローグ時間 LCL 問題の複雑性を決定づける上で、正確にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 階層的 2½-彩色問題は、各 k ∈ ℤ⁺ に対して時間計算量が Θ(n^{1/k}) であり、LOCAL モデルにおける厳密な時間階層を確立した。
• 有界次数の木構造において、任意の LCL 問題に対する o(1)-時間のランダム化アルゴリズムは、非ランダム化 O(log n)-時間アルゴリズムに変換可能であり、ω(log* n)–o(log n) および ω(log n)–n^{o(1)} の範囲に自然な複雑性が存在しないことを示した。
• 任意のサブローグ時間で LCL 問題を解くランダム化アルゴリズムは、T_{LLL} が Ω(log log n) かつ O(log n) である O(T_{LLL}) 時間に高速化可能である。
• n-リングでは、ω(1)–o(log* n) のギャップが存在する。√n×√n のトーラスでは、ω(1)–o(√log* n) のギャップが存在する。有界次数の木構造および一般のグラフでは、ω(1)–o(log log* n) のギャップが存在する。
• Δ = O(1) のとき、無限メッセージサイズの o(log n)-時間ランダム化アルゴリズムは、1ビットメッセージのみを用いて O(log n) 時間にシミュレート可能であり、有界次数下ではメッセージサイズが複雑性を増加させないことを示した。
• 本稿では、LOCAL モデルにおける非ランダム化計算量の集合が稠密でないことを示し、各 k ∈ ℤ⁺ に対して ω(n^{1/(k+1)}) と o(n^{1/k}) の間にギャップが存在することを示した。これは、非自明な階層が存在することを示唆している。