[論文レビュー] A Two Stage Generalized Block Orthogonal Matching Pursuit (TSGBOMP) Algorithm

Samrat Mukhopadhyay, Mrityunjoy Chakraborty|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ブロック境界の事前知識が不要な一般化ブロックスパース信号の復元を目的として、二段階の一般化ブロック直交匹配追求（TSGBOMP）アルゴリズムを提案する。新たに導入された擬似ブロックインタリーブドブロック制限等長性（PIBRIP）と併せて、TSGBOMPが高確率で正確な復元を保証する回復条件を確立し、シミュレーションにおいて従来のBOMPを著しく上回る性能を示す。

ABSTRACT

Recovery of an unknown sparse signal from a few of its projections is the key objective of compressed sensing. Often one comes across signals that are not ordinarily sparse but are sparse blockwise. Existing block sparse recovery algorithms like BOMP make the assumption of uniform block size and known block boundaries, which are, however, not very practical in many applications. This paper addresses this problem and proposes a two step procedure, where the first stage is a coarse block location identification stage while the second stage carries out finer localization of a non-zero cluster within the window selected in the first stage. A detailed convergence analysis of the proposed algorithm is carried out by first defining the so-called pseudoblock-interleaved block RIP of the given generalized block sparse signal and then imposing upper bounds on the corresponding RIC. We also extend the analysis for complex vector as well as matrix entries where it turns out that the extension is non-trivial and requires special care. Furthermore, assuming real Gaussian sensing matrix entries, we find a lower bound on the probability that the derived recovery bounds are satisfied. The lower bound suggests that there are sets of parameters such that the derived bound is satisfied with high probability. Simulation results confirm significantly improved performance of the proposed algorithm as compared to BOMP.

研究の動機と目的

• BOMPのような既存のブロックスパース信号回復アルゴリズムの限界、すなわちブロックサイズと境界が事前に分かっている必要があることに対処すること。
• ブロック分割の事前知識が不要な非ベイズ的でグリーディなアルゴリズムを構築し、一般化ブロックスパース信号を復元すること。
• 新規の擬似ブロックインタリーブドブロック制限等長性（PIBRIP）を用いた理論的回復条件を確立すること。
• 実ガウス測定行列における確率的回復バウンドを導出することにより、回復条件を満たす確率が高くなることを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは二段階で構成される：まず、残差に対する相関が最大となる連続する列の窓を特定することで、粗いブロック位置の特定を行う。
• 第二段階では、選択された窓内におけるすべての重複する連続クラスタに対して精密な探索を実施し、最適な非ゼロブロックを同定する。
• 一般化ブロックスパース信号の構造をモデル化するため、新しい制限等長性の変種、すなわち擬似ブロックインタリーブドブロックRIP（PIBRIP）を導入する。
• 理論的解析により、正確な回復が保証されるブロック制限等長定数（BRIC）の上界を導出する。
• 複素数値の信号および行列への拡張も可能であり、非自明な解析的課題のため特別な取り扱いが求められる。
• 実ガウス測定行列を用いて、導出された回復条件を満たす確率の下界を導出し、特定のパrameterセットでは高い成功確率が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック境界が不明な状況下で、二段階グリーディアルゴリズムが一般化ブロックスパース信号の復元性能を向上させられるか？
• RQ2 既知のブロック分割がない状況下で回復を解析するための新たなRIP条件は何か？
• RQ3 提案されたTSGBOMPアルゴリズムは、BOMPと比較して回復精度およびロバストネスにおいてどのように異なるか？
• RQ4 実ガウス測定行列下で、導出された回復バウンドが満たされる確率はどの程度か？
• RQ5 理論的解析を複素数値の信号および行列へと一般化して拡張できるか、かつその拡張に問題は生じないか？

主な発見

• シミュレーション結果において、提案されたTSGBOMPアルゴリズムは従来のBOMPと比較して著しく優れた回復性能を達成している。
• PIBRIPの導入により、ブロック構造が未知の一般化ブロックスパース信号の厳密な理論的解析が可能になった。
• 信号パラメータに依存するブロック制限等長定数（BRIC）の上界が導出され、その下で正確な回復が保証される。
• 実ガウス測定行列の場合、回復条件を満たす確率の下界が導出され、適切なパrameter設定では高い成功確率が得られることを示した。
• 理論的解析は複素数値の信号および行列へと拡張可能であるが、その拡張は非自明であり、解析的依存関係を注意深く取り扱う必要がある。
• 母関数とホフディングの不等式を用いて、擬似ブロックの有効な構成の数を上界で評価し、信号配置の可能性に対するタイトな指数的バウンドを導出した。