[論文レビュー] A unified integral equation scheme for doubly-periodic Laplace and Stokes boundary value problems in two dimensions

Alex H. Barnett, Gary R. Marple+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周期的グリーン関数を明示的に計算せず、小さな最小二乗問題を解くことで周期性を強制する、スペクトル的に正確な統一的積分方程式スキームを提示する。この方法は、直接和をとる近接領域の像と、遠方領域の寄与を表す少数の補助的代理源（proxy sources）を組み合わせることで、12桁の精度と数千個の不純物へのスケーラビリティを達成する well-conditioned な高速反復解法を可能にする。

ABSTRACT

We present a spectrally-accurate scheme to turn a boundary integral formulation for an elliptic PDE on a single unit cell geometry into one for the fully periodic problem. Applications include computing the effective permeability of composite media (homogenization), and microfluidic chip design. Our basic idea is to exploit a small least squares solve to apply periodicity without ever handling periodic Green's functions. We exhibit fast solvers for the two-dimensional (2D) doubly-periodic Neumann Laplace problem (flow around insulators), and Stokes non-slip fluid flow problem, that for inclusions with smooth boundaries achieve 12-digit accuracy, and can handle thousands of inclusions per unit cell. We split the infinite sum over the lattice of images into a directly-summed "near" part plus a small number of auxiliary sources which represent the (smooth) remaining "far" contribution. Applying physical boundary conditions on the unit cell walls gives an expanded linear system, which, after a rank-1 or rank-3 correction and a Schur complement, leaves a well-conditioned square system which can be solved iteratively using fast multipole acceleration plus a low-rank term. We are rather explicit about the consistency and nullspaces of both the continuous and discretized problems. The scheme is simple (no lattice sums, Ewald methods, nor particle meshes are required), allows adaptivity, and is essentially dimension- and PDE-independent, so would generalize without fuss to 3D and to other non-oscillatory elliptic problems such as elastostatics. We incorporate recently developed spectral quadratures that accurately handle close-to-touching geometries. We include many numerical examples, and provide a software implementation.

研究の動機と目的

• 2次元のラプラスおよびストークス方程式に従う二重周期的境界値問題を解く、堅牢で高次の数値スキームの開発。
• 格子和、アイルド法、または粒子メッシュを避けるために、周期性を強制するための小さな最小二乗問題を用いる。
• 単位セルあたり数千個の不純物および密着に近い幾何構造を有する複合材料やマイクロ流体系の高精度シミュレーションを可能にする。
• このアプローチを他の非振動的楕円型偏微分方程式へ一般化し、最小限の変更で3次元へ拡張する。
• 高速多重極法およびスペクトル quadrature と互換性のある、柔軟で適応的かつ次元に依存しないフレームワークを提供する。

提案手法

• 周期的グリーン関数を避けるために、不純物上の未知の境界密度と自由空間グリーン関数を用いて解を表現する。
• 無限大の像の格子を、直接和をとる「近接」部分と、M 個の補助的代理源でモデル化された遠方領域寄与に分割する。
• ユニットセルの壁に物理的境界条件を適用し、低ランク補正を加えた拡大線形系を構築する。
• シュール補行列と低ランク摂動を用いて補助未知数を消去し、well-conditioned な正方系を得る。
• 高速多重極法の加速とスペクトル quadrature を用いることで、O(N) の計算コストと高い精度を達成し、密着に近い不純物に対しても有効である。
• 空のBVP系に対してランク1またはランク3の補正を加えることで、物理的問題における一様性の確保と核空間の問題の除去を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的グリーン関数を明示的に計算せずに、境界積分方程式における周期的境界条件をどのように強制できるか？
• RQ2 周期的問題における無限大の像の遠方領域寄与を、最適にどのように表現できるか？
• RQ3 統一スキームは、二重周期的2次元幾何におけるラプラス問題とストークス問題の両方でスペクトル的精度を達成できるか？
• RQ4 物理的BVPにおける核空間の問題に起因する悪条件化を回避し、高速反復解法に適した線形系をどのように構築できるか？
• RQ5 高幾何的複雑性を有する数千個の不純物を有する系に適用した場合、この手法のスケーラビリティと精度の限界は何か？

主な発見

• 滑らかな幾何構造において、ラプラス問題およびストークス問題の両方で12桁の精度を達成し、密着に近い不純物に対しても有効である。
• ランダムな複合材料において、数百万の未知数を扱える。単位セルあたり数千個の不純物を有する。
• 代理源と小さな最小二乗問題の使用により、格子和、アイルド法、粒子メッシュの必要性が回避される。
• ランク1またはランク3の補正を施した後、得られる線形系は well-conditioned であり、FMM加速を用いた高速反復解法が可能である。
• このアプローチは自然に3次元へ一般化でき、最小限の変更で非振動的楕円型PDE（例えば弾性静力学）へも応用可能である。
• 数値実験により、高体積分率や高長さ比のユニットセルのような困難な状況でも、収束性と高精度が確認された。