[論文レビュー] A variational proof of partial regularity for optimal transportation maps

Michaël Goldman, Félix Otto|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、古典的な最大原理の手法に依存せずに、ホルダー連続な密度間の最適輸送写像の部分的正則性の新しい変分的証明を提示する。ベンアモ＝ブレニエのエーラリアン形式において競合解を構成し、調和近似に基づくカムパナト・反復を用いることで、輸送写像が零測度集合を除き $C^{1,\beta}$ であることが示され、直接的に $C^{1,\alpha}$ 階層での $\varepsilon$-正則性結果によって正則性が達成される。

ABSTRACT

We provide a new proof of the known partial regularity result for the optimal transportation map (Brenier map) between two sets. Contrary to the existing regularity theory for the Monge-Amp{è}re equation, which is based on the maximum principle, our approach is purely variational. By constructing a competitor on the level of the Eulerian (Benamou-Brenier) formulation, we show that locally, the velocity is close to the gradient of a harmonic function provided the transportation cost is small. We then translate back to the Lagrangian description and perform a Campanato iteration to obtain an $ε$-regularity result.

研究の動機と目的

• 最大原理に依存しない、最適輸送写像の部分的正則性に対する完全に変分的である新しい証明を提供すること。
• 中間の $C^{0,\alpha}$ 評価を経由せず、直接的に $C^{1,\alpha}$ 階層での $\varepsilon$-正則性結果を確立すること。
• 出発および到着の密度が $C^{0,\alpha}$ であり、ゼロから離れている場合に、輸送写像が零測度集合を除き $C^{1,\alpha}$ であることを示すこと。
• 直接的に輸送写像上で作業し、変位凸性と境界層構成を活用することで、変分的枠組みによって解析を統一すること。

提案手法

• フラックス境界条件を制御したポアソン方程式の解を用いて、ベンアモ＝ブレニエのエーラリアン形式における競合解を構成する。
• 双対性に基づく境界層構成を用いてトレース推定を得る。これにより問題が境界データの制御に還元される。
• 輸送エネルギーが小さいとき、速度場が小さい球内での調和関数の勾配に近いことを、調和近似により証明する。
• 調和関数の2階テイラー展開を用いた「平坦さの傾きによる改善」を確立し、反復的精錬を可能にする。
• アフィン変換の不変性を活用したカムパナト反復により、エネルギーと $C^{1,\alpha}$ 正則性の幾何的減衰を達成する。
• エーラリアン近似をラグランジュ的設定に再翻訳し、輸送写像がリークス・ポイントの近傍で $C^{1,\alpha}$ であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大原理やアレクサンドロフ解理論に依存せずに、最適輸送写像の部分的正則性を完全に変分的アプローチによって確立できるか？
• RQ2 エネルギーが小さく、ホルダー連続性が満たされている条件下で、最適輸送写像に対して $C^{1,\alpha}$ 階層での $\varepsilon$-正則性結果が存在するか？
• RQ3 ベンアモ＝ブレニエ形式における調和近似を用いて、輸送写像の反復的正則性向上を導けるか？
• RQ4 変位凸性と境界層構成の相乗効果は、エーラリアン枠組みにおける有効な競合解の構成を可能にするか？
• RQ5 カムパナト反復をどのように変更すれば、中間の $C^{0,\alpha}$ ステップを回避して直接 $C^{1,\alpha}$ 正則性を導けるか？

主な発見

• 輸送写像 $T$ は、全測度の開集合 $E' \subseteq \text{supp}\, \rho_0$ 及びその像 $F' \subseteq \text{supp}\, \rho_1$ で $C^{1,\alpha}$ であり、部分的 $C^{1,\alpha}$ 正則性が確立される。
• 直接的に $C^{1,\alpha}$ 階層での $\varepsilon$-正則性定理が証明された：エネルギーおよびホルダー半ノルムが十分に小さい球内では、$T$ はより小さい球内で $C^{1,\alpha}$ である。
• 鍵となるステップは調和近似結果である。エーラリアン形式において、エネルギーが小さいとき、速度場は調和関数の勾配に近い。
• 証明は、ポアソン方程式と境界層構成を用いて構築された変分的競合解に依存しており、トレース推定 (3.10) が中心的役割を果たす。
• 問題の自然なスケーリングのおかげで、カムパナト反復は直接 $C^{1,\alpha}$ 階層で動作し、中間の $C^{0,\alpha}$ 評価を回避する。
• 結果はアフィン変換に対して安定であり、平坦さの反復的改善にとって不可欠である。