[論文レビュー] A Weak Dynamic Programming Principle for Combined Optimal Stopping and Stochastic Control with $\mathcal{E}^f$- expectations

Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴う確率的微分方程式（BSDE）によって誘導される非線形 ${\mathcal{E}}^{f}$-期待値の下で、組み合わせ最適停止および確率的制御問題に対する弱い動的計画法原理（DPP）を確立する。上付きおよび下付きの下半連続包 $u^*$ と $u_*$ が、非線形ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン変分不等式の粘性下および上解であることを証明し、古典的DPP結果を不規則な終端報酬および非線形期待値へと拡張する。

ABSTRACT

We study a combined optimal control/stopping problem under a nonlinear expectation ${\cal E}^f$ induced by a BSDE with jumps, in a Markovian framework. The terminal reward function is only supposed to be Borelian. The value function $u$ associated with this problem is generally irregular. We first establish a {\em sub- (resp. super-) optimality principle of dynamic programming} involving its {\em upper- (resp. lower-) semicontinuous envelope} $u^*$ (resp. $u_*$). This result, called {\em weak} dynamic programming principle (DPP), extends that obtained in \cite{BT} in the case of a classical expectation to the case of an ${\cal E}^f$-expectation and Borelian terminal reward function. Using this {\em weak} DPP, we then prove that $u^*$ (resp. $u_*$) is a {\em viscosity sub- (resp. super-) solution} of a nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman variational inequality.

研究の動機と目的

• ${\mathcal{E}}^{f}$-期待値にジャンプを含む設定下での最適制御／停止問題に対する弱い動的計画法原理の一般化を図ること。
• 終端報酬関数が連続的または下半連続的でない、Borel可測関数である場合を扱うこと。
• 値関数の上付きおよび下付きの下半連続包が、それぞれ粘性下解および上解の性質を満たすことを確立すること。
• 古典的粘性解フレームワークを非線形期待値および不規則な終端データへと拡張すること。

提案手法

• ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される制御されたSDEを用いたマルコフ型フレームワークを採用する。
• ジャンプ付きの後向き確率的微分方程式（BSDE）を用いて非線形 ${\mathcal{E}}^{f}$-期待値を定義する。
• 値関数の上付きおよび下付きの下半連続包 $u^*$ と $u_*$ を分析することで弱いDPPを適用する。
• 上最適性原理を用いた $u^*$ に関する、および下最適性原理を用いた $u_*$ に関する粘性下および上解の性質を導出する。
• 不規則性に対処するため、Borel関数の近似技術および $L^2$ および $\mathbb{H}^2$ 空間の分離可能性に依存する。
• 完全化されたフィルトレーション下での可測写像のバージョンの存在を保証するため、測度論的結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ付きの ${\mathcal{E}}^{f}$-期待値の下で、組み合わせ最適停止および確率的制御問題に対する弱い動的計画法原理を確立できるか？
• RQ2 値関数の上付きおよび下付きの下半連続包は、非線形期待値設定下でのHJB変分不等式の粘性解とどのように関係するか？
• RQ3 終端報酬関数が連続的または下半連続的でない場合、弱いDPPは成り立つか？
• RQ4 非線形期待値フレームワーク下で、値関数の包が粘性下解および上解として特徴付けられるか？
• RQ5 ジャンプ付きBSDEは、${\mathcal{E}}^{f}$-期待値を定義し、古典的DPP結果の拡張を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 値関数 $u$ は、その上付き下半連続包 $u^*$ および下付き下半連続包 $u_*$ を含む弱い動的計画法原理を満たす。
• 上包 $u^*$ は、非線形ハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン変分不等式の粘性下解である。
• 下包 $u_*$ は、同じ変分不等式の粘性上解である。
• この結果は、古典的期待値から ${\mathcal{E}}^{f}$-期待値にジャンプを含む設定およびBorel可測な終端報酬へと弱いDPPを拡張する。
• 証明は、Borel関数の近似および $L^2$ および $\mathbb{H}^2$ 空間の分離可能性に依存して不規則性に対処する。
• 本フレームワークは、[8]の先行研究を非線形期待値および不連続な報酬関数へと一般化する。