[論文レビュー] A Weak Galerkin Finite Element Method for Second-Order Elliptic Problems

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、不連続関数における弱く定義された勾配作用素を用いることで、2階楕円問題に対する弱ガレルキン（WG）有限要素法を導入する。これにより、完全に不連続な有限要素空間の使用が可能となる。この手法は、離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおいて最適な誤差推定を達成し、双対問題の $H^2$ 正則性が完全に満たされる場合に、超収束が観察される。

ABSTRACT

In this paper, authors shall introduce a finite element method by using a weakly defined gradient operator over discontinuous functions with heterogeneous properties. The use of weak gradients and their approximations results in a new concept called {\em discrete weak gradients} which is expected to play important roles in numerical methods for partial differential equations. This article intends to provide a general framework for operating differential operators on functions with heterogeneous properties. As a demonstrative example, the discrete weak gradient operator is employed as a building block to approximate the solution of a model second order elliptic problem, in which the classical gradient operator is replaced by the discrete weak gradient. The resulting numerical approximation is called a weak Galerkin (WG) finite element solution. It can be seen that the weak Galerkin method allows the use of totally discontinuous functions in the finite element procedure. For the second order elliptic problem, an optimal order error estimate in both a discrete $H^1$ and $L^2$ norms are established for the corresponding weak Galerkin finite element solutions. A superconvergence is also observed for the weak Galerkin approximation.

研究の動機と目的

• 2階楕円問題に対する完全に不連続な近似を許容する新しい有限要素法の開発。
• ガレルキン式の定式化における古典的勾配の代わりに、離散的弱勾配の概念を導入すること。
• 異種特性を有する関数に微分作用素を適用するための一般枠組みの確立。
• 得られる弱ガレルキン有限要素解について、離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおける最適収束速度の証明。
• 双対問題の完全な $H^2$ 正則性下での超収束の検証。

提案手法

• 手法は、要素内部および境界における部分積分を用いて定義される弱勾配作用素を採用し、有限要素空間における不連続関数の使用を可能にする。
• 局所的な多項式空間への射影を用いて、離散的弱勾配を構築することで、不連続関数における古典的勾配の数値的近似が可能になる。
• 弱ガレルキン定式化では、変分形式における古典的勾配を離散的弱勾配に置き換えることで、対称的かつ正定値な線形系が得られる。
• 各要素が内部および境界の自由度を別々に持つ、混合有限要素に類似した構造を採用し、$v = \{v_0, v_b\}$ として表現される。
• 誤差解析は、補間推定、双対性の議論、および正確な解の射影と離散的弱勾配を含む一貫性誤差の境界に基づく。
• 一般の2階楕円問題、特に変数係数および混合境界条件を扱えるように、枠組みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に不連続な関数を許容しつつ、最適収束を維持できる有限要素法を構築できるか。
• RQ2 離散的弱勾配は、不連続関数における古典的勾配の安定化および近似にどのように寄与するか。
• RQ3 離散的 $H^1$ および $L^2$ ノルムにおける弱ガレルキン有限要素解の誤差推定はどのようなものか。
• RQ4 弱ガレルキン法が超収束を示すための正則性仮定は何か。
• RQ5 変数係数および滑らかでない解を有する問題に対して、この手法はどのように性能を発揮するか。

主な発見

• 弱ガレルキン有限要素法は、離散的 $H^1$ ノルムにおいて最適収束次数 $h^{m}$ を達成し、$L^2$ ノルムにおいては $h^{m+s}$ を達成する。ここで $m$ は多項式次数、$s$ は双対問題の正則性インデックスである。
• 双対問題の完全な $H^2$ 正則性（$s=1$）の下では、$L^2$ ノルムにおいて $h^{j+2}$ の収束次数で超収束が観察される。ここで $j$ は各要素における多項式次数である。
• 離散的 $H^1$ ノルムにおける誤差推定は、$C(h^m\|u\|_{m+1} + h^{1+s}\|f - Q_0f\|)$ で有界であり、滑らかさの仮定の下で最適収束が保証される。
• 対称的かつ正定値な係数行列および変数係数を有する一般の2階楕円問題に対し、この手法は安定的かつ収束的である。
• 離散的弱勾配作用素は、解が要素界面で不連続であっても、古典的勾配の整合的かつ安定的な近似を可能にする。
• 数値結果により、最適収束速度が維持され、適切な正則性条件下で超収束が観察されることが確認された。