[論文レビュー] A weighted reduced basis method for parabolic PDEs with random data

Christopher Spannring, Sebastian Ullmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的入力を有する放物型PDEに対して、重み付きPOD・グリーディアルゴリズムを用いて、根平均平方誤差と平均絶対出力誤差の両方の誤差収束を向上させる重み付き低次元基底法を提案する。この手法は非重み付き低次元基底法を上回り、固有直交分解（POD）の最適誤差に近づく。パrametrized PDEにおける不確実性量化において優れた効率性を示している。

ABSTRACT

This work considers a weighted POD-greedy method to estimate statistical outputs parabolic PDE problems with parametrized random data. The key idea of weighted reduced basis methods is to weight the parameter-dependent error estimate according to a probability measure in the set-up of the reduced space. The error of stochastic finite element solutions is usually measured in a root mean square sense regarding their dependence on the stochastic input parameters. An orthogonal projection of a snapshot set onto a corresponding POD basis defines an optimum reduced approximation in terms of a Monte Carlo discretization of the root mean square error. The errors of a weighted POD-greedy Galerkin solution are compared against an orthogonal projection of the underlying snapshots onto a POD basis for a numerical example involving thermal conduction. In particular, it is assessed whether a weighted POD-greedy solutions is able to come significantly closer to the optimum than a non-weighted equivalent. Additionally, the performance of a weighted POD-greedy Galerkin solution is considered with respect to the mean absolute error of an adjoint-corrected functional of the reduced solution.

研究の動機と目的

• 確率的入力パrameterを有する放物型PDEのモデル次元削減の効率性を向上させること。
• 期待値や出力汎関数などの統計的出力を推定するための計算コストを低減すること。
• 確率測度に従って誤差推定器に重みを付けることで、収束速度の向上と近似品質の向上が達成されるかどうかを調査すること。
• 重み付き低次元基底法と非重み付き低次元基底法、およびPODに基づく低次元空間の性能を比較すること。
• 本手法が、根平均平方解誤差および平均絶対出力誤差の両方を最小化する効果性を評価すること。

提案手法

• 重み付きPOD・グリーディアルゴリズムは、確率的パrameterの確率密度関数から導出されたパrameter重み付き誤差推定器を最小化することで、低次元空間を構築する。
• 本手法は、放物型PDEの弱形式を満たす低次元解を計算するために、低次元空間へのガレルキン射影を採用する。
• 主問題および双対問題の誤差推定器は、パrameterドメインにおける高い尤度領域を優先するために、確率密度関数で重み付けされる。
• 反復的に、重み付き誤差推定器に基づいてパrameterサンプルを選択するグリーディアルゴリズムを用いて、低次元基底を構築する。
• スナップショットデータの固有直交分解（POD）により、比較のための最適な低次元空間が得られる。
• モンテカルロサンプリングを用いて期待値を計算し、解および出力汎関数近似の両方の誤差を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き低次元基底法は、非重み付きアプローチと比較して、根平均平方解誤差の収束が速いか？
• RQ2 重み付き手法は、非重み付き手法と比較して、最適POD近似に近い低次元解を生成できるか？
• RQ3 線形出力汎関数の平均絶対誤差を最小化する点で、重み付きアプローチはどのように性能を発揮するか？
• RQ4 誤差推定器に重みを付けることで、パrametrized放物型PDEにおける統計的出力の近似がどの程度改善されるか？
• RQ5 標準的な低次元基底法やPOD手法と比較して、重み付き低次元基底法は不確実性量化においてより効率的か？

主な発見

• 重み付きPOD・グリーディアルゴリズムは、すべての低次元基底次元において、非重み付きPOD・グリーディアルゴリズムと比較して顕著に低い根平均平方解誤差を達成する。
• 重み付き低次元基底解は、非重み付きアプローチと比較して、平均二乗誤差の観点から最適POD解に近づく収束を示す。
• 平均絶対出力誤差に関しては、重み付き手法が非重み付き手法を一貫して上回り、収束速度も速い。
• 重み付きアプローチは、非重み付き手法と比較して期待解誤差をより効果的に低減し、最適POD空間の誤差水準に近づく。
• 数値結果から、誤差推定器に確率測度を重み付けすることで、不確実性量化のための低次元空間構築がより効率的になることが確認された。
• 本手法は、パrametrized PDEにおける統計的出力近似の精度を向上させるために、確率測度をグリーディ選択基準に組み込むことが有効であることを示している。