[論文レビュー] About complex structures in conformal tractor calculus

Felipe Leitner|ArXiv.org|Oct 28, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、部分的可積分なCR構造へ一般化された古典的Fefferman構成としてℓ-FEFEERMAN構成を導入し、標準トレイクター bundle 上に複素構造をなす随伴トレイクターを有する共形キリングベクトル場を有するローレンツ型共形多様体が、厳密に強擬凸で部分的可積分なCR多様体上のℓ-FEFEERMAN計量と局所的に共形同値であることを示している。主な結果は、ℓ-FEFEERMAN構成によるこのような共形構造の完全な幾何的特徴付けであり、共形トレイクター計算における問題がCR幾何学と一般化されたFefferman型計量を通じて解決されたことである。

ABSTRACT

The aim of this paper is to describe the geometry of conformal structures in Lorentzian signature, which admit a lightlike conformal Killing vector field whose corresponding adjoint tractor acts as complex structure on the standard tractor bundle of conformal geometry. Key to the treatment of this problem is CR-geometry and the Fefferman construction. In fact, we will consider here partially integrable CR-structures and a slightly generalised Fefferman construction for these, which we call the $\ell$-Fefferman construction. We show that a certain class of $\ell$-Fefferman metrics on partially integrable CR-spaces provides all solutions to our problem concerning the complex structures.

研究の動機と目的

• 標準トレイクター bundle 上に複素構造をなす随伴トレイクターを有する共形キリングベクトル場を有するローレンツ型共形構造を特徴付けること。
• 可積分なCR構造に限らない部分的可積分なCR幾何にまで古典的Fefferman構成を拡張すること。これは、非自明なNijenhuisねじれと全実的Levi形式を有する。
• Nijenhuisテンソルからの曲率補正項を組み込み、トレイクター方程式における非ゼロ曲率項を扱う一般化されたFefferman構成（ℓ-FEFEERMAN構成）を構築すること。
• 共形トレイクター計算における複素構造問題のすべての解が、部分的可積分なCR多様体上のℓ-FEFEERMAN計量から生じることを示すこと。

提案手法

• 非自明なNijenhuisねじれと全実的Levi形式を有する部分的可積分なCR構造を、構成の幾何的基盤として用いる。
• 古典的Fefferman構成の一般化としてℓ-FEFEERMAN構成を導入し、トレイクター方程式における非ゼロ曲率寄与を補正する補正項ℓを組み込む。
• 擬ヘルミート構造と特徴的な線形接続（特に、部分的可積分な状況へのTanaka-Webster接続の拡張）を用いる。
• ℓ-FEFEERMAN計量におけるWebsterスカラー曲率とリーマンスカラー曲率の関係を計算し、共形類のCR不変性を確立する。
• ℓ-FEFEERMAN構成における基本的キリングベクトル場のラプラシアンを明示的に計算し、関連する随伴トレイクターを導出する。
• 再構成法を用いて、すべての複素構造問題の解がℓ-FEFEERMAN構成によって実現されることを証明し、CR構造から共形類への写像が複素構造値をとる随伴トレイクターを有する共形類へ全射であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのローレンツ型共形構造が、標準トレイクター bundle 上に複素構造をなす随伴トレイクターを有する共形キリングベクトル場を有するか？
• RQ2 非ゼロのNijenhuisねじれと非可積分なCR分布を有する部分的可積分なCR構造に対応するように、古典的Fefferman構成をどのように一般化できるか？
• RQ3 Nijenhuisテンソルが非ゼロである場合に、トレイクター方程式における非ゼロ曲率項を補正するための補正項ℓは何か？
• RQ4 ℓ-FEFEERMAN構成は、このような複素構造値をとる随伴トレイクターを有するすべての共形構造を記述するのに十分か？
• RQ5 部分的可積分なCR構造の場合に、CR幾何学の正規Cartan接続と共形幾何学の正規Cartan接続の関係は何か？

主な発見

• ℓ-FEFEERMAN構成は、随伴トレイクターが標準トレイクター bundle 上に複素構造をなす共形キリングベクトル場を有するすべてのローレンツ型共形構造を完全に幾何的に記述する。
• このようなすべての共形構造は、cohomology class [ℓ] ∈ H¹_tr(M, T₁₀) を有する厳密に強擬凸で部分的可積分なCR構造上に構成されたℓ-FEFEERMAN計量と局所的に共形同値である。
• 写像 Ψ: (T₁₀, [ℓ]) ↦ (c_[ℓ], ℒ(R)) は、[ℓ] ∈ H¹_tr(M, T₁₀) を有する部分的可積分なCR構造の空間から、複素構造値をとる随伴トレイクターを有する局所的共形類の集合へ全射である。
• ℓ-FEFEERMAN構成における基本的キリングベクトル場 R のラプラシアンは明示的に表現可能であり、関連する随伴トレイクター ℒ(R) も明示的に計算され、それが標準トレイクター bundle 上に複素構造を定義することが示された。
• ℓ-FEFEERMAN構成は古典的Fefferman構成を拡張し、可積分な場合に捕捉されない新しいクラスのローレンツ型計量と共形構造を生成する。
• 部分的可積分な場合に、CR幾何学の正規Cartan接続と共形幾何学の正規Cartan接続は一致しないが、𝔪(1,m) に値をとる1形式の違いまで一致する。これは、ℓ-項が解消する微妙な幾何的不一致を示している。