[論文レビュー] About Decisiveness of Dynamic Probabilistic Models

Alain Finkel, Serge Haddad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Formal Methods in Verification被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、状態依存の遷移重みを持つシステムをモデル化するための動的確率的カウンターマシン（pCM）を導入し、任意の精度で到達確率を計算するために不可欠な「意思決定性（decisiveness）」が、一般には決定不能であることを証明している。これは定数重みでさえも同様である。しかし、多項式重みをもつ1カウンターパーソナルpCMや、正則な確率的ペトリネット（pPN）では、意思決定性が回復する。

ABSTRACT

Decisiveness of infinite Markov chains with respect to some (finite or infinite) target set of states is a key property that allows to compute the reachability probability of this set up to an arbitrary precision. Most of the existing works assume constant weights for defining the probability of a transition in the considered models. However numerous probabilistic modelings require the (dynamic) weight to also depend on the current state. So we introduce a dynamic probabilistic version of counter machine (pCM). After establishing that decisiveness is undecidable for pCMs even with constant weights, we study the decidability of decisiveness for subclasses of pCM. We show that, without restrictions on dynamic weights, decisiveness is undecidable with a single state and single counter pCM. On the contrary with polynomial weights, decisiveness becomes decidable for single counter pCMs under mild conditions. Then we show that decisiveness of probabilistic Petri nets (pPNs) with polynomial weights is undecidable even when the target set is upward-closed unlike the case of constant weights. Finally we prove that the standard subclass of pPNs with a regular language is decisive with respect to a finite set whatever the kind of weights.

研究の動機と目的

• 遷移重みが状態と遷移の両方に依存する動的確率的モデルを形式化し、静的重みの枠を超える拡張を図ること。
• 特に確率的カウンターマシン（pCM）と確率的ペトリネット（pPN）における意思決定性の決定可能性を調査すること。
• 一般には決定不能であるが、特定の部分クラスでは意思決定性が決定可能になる条件を同定すること。
• 無限状態モデルにおけるマコフ連鎖の再帰性と構造的性質との間に、意思決定性がどのように関係するかを確立すること。

提案手法

• 遷移確率が状態および遷移に依存する重みから導かれる動的確率的カウンターマシン（pCM）を導入する。
• カウンターマシンの停止問題への還元を用いて、定数重みでもpCMにおける意思決定性の決定不能性を証明する。
• 多項式重みをもつ「同型確率的カウンターマシン（pHM）」と呼ばれるpCMの部分クラスを定義し、ややきつい条件下で意思決定性が決定可能になることを示す。
• カウンターマシンの停止問題を多項式重みをもつpPNにおける到達可能性問題に還元する弱シミュレーション技術を用い、pPNにおける意思決定性の決定不能性を証明する。
• pPNの有限状態マーキング解析に、計算可能な境界B(N, m0)を用いて、正則なpPNに対して有限マコフ連鎖を構築する。これにより意思決定性の証明が可能になる。
• B(N, m0)に基づく到達可能なマーキングの制限により有限グラフを構築し、終着性と底付き強連結成分（BSCC）の解析が可能になるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の動的重みをもつ動的確率的カウンターマシン（pCM）において、意思決定性は決定可能か？
• RQ2 状態およびカウンタ値の多項式関数としての遷移重みをもつ1カウンターパーソナルpCMでは、意思決定性が決定可能か？
• RQ3 多項式重みをもつ確率的ペトリネット（pPN）において、意思決定性は決定可能か？特に、ターゲット集合が有限または上向き閉じている場合に限っては？
• RQ4 正則言語をもつpPNの標準的部分クラス（正則マーキングペトリネット）は、重み関数の種別に関わらず常に意思決定的であるか？

主な発見

• カウンターマシンの停止問題への還元により、一般のpCMでは、遷移重みが定数であっても意思決定性が決定不能である。
• 多項式重みをもつ1カウンターパーソナルpCMでは、ややきつい条件下で意思決定性が決定可能となり、同型確率的カウンターマシン（pHM）と呼ばれる新たな決定可能部分クラスが確立される。
• 多項式重みをもつpPNでは、ターゲット集合が有限または上向き閉じている場合でも、意思決定性が決定不能である。これは定数重みの下では既知の決定可能性とは対照的である。
• 正則言語（すなわち正則マーキングペトリネット）をもつpPNでは、任意の有限ターゲットマーキングに対して、重み関数の種別に関わらず意思決定性が決定可能である。
• 多項式重みをもつpPNにおける決定不能性の証明は、動的重みをもつ確率的ネットワークによるカウンターマシンの新規な弱シミュレーションに依拠している。
• 計算可能な境界B(N, m0)を用いて、正則pPNに対して有限マコフ連鎖を構築でき、BSCC解析により正確な到達確率計算が可能になる。