[論文レビュー] About Goto's method showing surjectivity of word maps

Abdelrhman Elkasapy, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、G{ôto}の手法を拡張し、2つの生成元からなる自由群の元で第二導出部分群 ${\mathbf{F}}^{(2)}$ に属さない任意の語 $\omega$ に対して、すべての $n$ に対して、少なくとも有限個の例外を除き、$SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ への関連語写像 $\omega$ が全射であることを証明する。全射性は、最小素因数が十分に大きい $n$ に対して成り立つ。この結果は、$SU(n)$ 群における語写像の全射性に関するLarsenの予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let F be the free group on two letters. For ω \in F we study the associated word map ω: SU(n) imes SU(n) ightarrow SU(n). Extending a method of Goto, we show that for ω not in the second derived subgroup F^(2) of F, there are infinitely many n \in N such that the associated word map ω : SU(n) imes SU(n) ightarrow SU(n) is surjective.

研究の動機と目的

• Michael Larsenの予想、すなわちすべての非自明な語写像が十分に大きな $n$ に対して $SU(n) \times SU(n)$ から $SU(n)$ へ全射であるという予想を裏付けること。
• G{ôto}の古典的な交換子写像の全射性を証明する手法を、第二導出部分群 ${\mathbf{F}}^{(2)}$ の外にあるより広いクラスの語へ拡張すること。
• $\mathbf{F} \setminus \mathbf{F}^{(2)}$ に属する要素に関連する語写像が $SU(n)$ で全射となる条件を確立すること。
• エンゲル語写像の全射性を調査し、すべての $n$ に対して全射であることを示すこと。

提案手法

• 自由群がアーベル化 $\mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$ に作用することにより定義される、各語 $\omega \in \mathbf{F}^{(1)}$ に関連する多項式不変量 $p_\omega(t)$ を用いる。
• 自由群における基本変換を適用し、$p_\omega(t)$ が単位根において消えないように $\omega$ を変形する。
• $a$ および $b$ の共役作用を用いて、$p_\omega(t)$ に関する再帰関係、特に $p_{[\omega,b]}(t) = (1-t)p_\omega(t) + t p_\omega(1)$ を導出する。
• $p_\omega(t)$ が多項式として $0$ でないという事実を活用し、語写像が真の代数的部分群に含まれないことを保証する。
• $\mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$ が $\mathbb{Z}[\mathbf{F}]$-加群としての構造を持つことを利用して、$p_\omega(t)$ の自己同型の下での挙動を分析する。
• Corollary 3.2 を適用し、$p_\omega(t)$ が単位根において消えないことと語写像の全射性との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの語 $\omega \in \mathbf{F}$ に対して、すべての十分に大きな $n$ に対して語写像 $\omega: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ が全射となるか？
• RQ2 G{ôto}の交換子写像の全射性を証明する手法を、第二導出部分群 $\mathbf{F}^{(2)}$ の外にある語へ一般化できるか？
• RQ3 定理1.1における $n$ の制限（$\mathrm{lpf}(n) \geq k$）は本質的であるか、それともすべての $n$ に対して全射性を示せるか？
• RQ4 すべての $n$ およびすべての $k$ に対して、エンゲル語写像 $e_k(a,b)$ は $SU(n)$ 上で全射か？
• RQ5 多項式不変量 $p_\omega(t)$ を用いて、すべての $n$ に対して語写像の全射性を一様に決定できるか？

主な発見

• 任意の語 $\omega \in \mathbf{F} \setminus \mathbf{F}^{(2)}$ に対して、整数 $k$ が存在し、$\mathrm{lpf}(n) \geq k$ を満たすすべての $n$ に対して語写像 $\omega: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ が全射である。
• $k$-番目のエンゲル語写像 $e_k: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ は、すべての $n$ およびすべての $k \in \mathbb{N}$ に対して全射であり、$p_{e_k}(t) = (1-t)^k$ である。
• $\omega \notin \mathbf{F}^{(2)}$ ならば、$\omega$ に関連する多項式 $p_\omega(t)$ は非ゼロであり、すべての単位根において消えないため、全射性が保証される。
• $\mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)} \to \mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ なる写像 $\bar{p}$ は、$\mathbb{Z}[\mathbf{F}]$-加群の準同型であり、語写像を分析するための構造的枠組みを提供する。
• この手法は $\mathbf{F}^{(2)}$ に属する語では失敗し、このような語の語写像の全射性は未解決のままである。たとえば $\omega = [[a,b],[a^2,b^2]]$ の場合がそうである。
• 質問4.4に肯定的な答えが得られれば、すなわち、任意の $\xi \in \mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$ に対して、ある自己同型 $\alpha$ が存在し、$\bar{p}(\alpha(\xi))$ の唯一の単位根が $1$ であるようなものが存在すれば、定理1.1における $n$ の制限を除去できる。