[論文レビュー] About new Inverse Formulas of the Transformation of Laplace

A. V. Pavlov-Maxorin|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特に、原点で正則性を欠くが、穿孔近傍では正則である関数のラプラス変換を分析することにより、原点の近傍でラプラス変換の正則性をフーリエ変換技法を用いて確立する。主な貢献は、原点で滑らかでない関数に適用可能な新しいラプラス変換の逆変換公式の確立である。

ABSTRACT

Regularity of the transform of Laplace in the opened area of 0 is proved with help of some methods of the transform of Fourier. The class of the transform of Laplace from the transform of Fourier is considered from some functions without a regularity in null. The functions are regular in the opened area of 0.

研究の動機と目的

• 原点の穿孔近傍におけるラプラス変換の正則性特性を調査すること。
• 原点で正則でないが、定義域の他の領域では正則な関数のラプラス変換を分析すること。
• 原点で滑らかでない関数に適用可能な新しいラプラス変換の逆変換公式を確立すること。
• 原点における点ごとの正則性の欠如の下で、ラプラス変換の性質を導出するためにフーリエ変換手法を適用すること。

提案手法

• 原点の近傍の開領域におけるラプラス変換の正則性を分析するために、フーリエ変換技法を用いる。
• 原点で正則でない関数のフーリエ変換から得られるラプラス変換のクラスを検討する。
• 原点を除く近傍で解析的または正則な関数を検討する。
• 関数解析的手法を用いて、特異な状況下でのフーリエ変換とラプラス変換の性質を結びつける。
• ラプラス変換とフーリエ変換の関係を活用して、正則性が制限された状況下での逆変換公式を導出する。
• 原点における正則性の欠如にもかかわらず、ラプラス変換が良好に保たれる条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の関数が原点で正則でない場合に、原点の穿孔近傍におけるラプラス変換の正則性をどのように確立できるか。
• RQ2 原点で非正則な関数の文脈において、フーリエ変換とラプラス変換の関係は何か。
• RQ3 原点で特異で、他の領域では正則な関数に対して、ラプラス変換の新しい逆変換公式を導出できるか。
• RQ4 どのような関数のクラスが、原点近辺におけるラプラス変換の挙動を分析するためにフーリエに基づく手法に適用可能か。
• RQ5 原点における点ごとの特異性が存在する場合でも、原点の周囲の開領域でラプラス変換が正則のままである条件は何か。

主な発見

• 元の関数が原点で正則でないが、穿孔領域では正則である場合に、ラプラス変換が原点の開近傍で正則であることが証明された。
• フーリエ変換手法により、元の関数が原点で滑らかでない場合でも、ラプラス変換の正則性特性が成功裏に確立された。
• ラプラス変換が原点の穿孔近傍で良好に定義され、正則であるような関数の新しいクラスが同定された。
• 原点で非正則だが、他の領域で正則な関数に適用可能な、ラプラス変換の新しい逆変換公式が導出された。
• 正則性が制限された条件下で、フーリエ変換とラプラス変換の関係が形式化され、その関係が解析に役立つようになった。
• 正則性の欠如が原点に存在しても、周囲の開領域におけるラプラス変換の正則性が保たれることが、結果によって示された。