[論文レビュー] About split quaternion algebras over quadratic fields and symbol algebras of degree $n$

Diana Savin|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、四元数代数が二次体上で分裂するための十分条件を確立し、以前の結果を一般化して、$ p $-進体および円分体上で次数 $ n \geq 3 $ の非分裂記号代数を構成する。局所類体論とヘンゼルの補題を用いて、$ l \mid n $ である任意の $ l $ に対して $ \alpha $ が $ p $ を法として $ l $ 乗剰余でないとき、記号代数 $ \left(\frac{a,b}{K,\xi}\right) $ は $ \mathbb{Q}_p $ および $ K = \mathbb{Q}(\xi) $ 上で非分裂のままであることを証明する。これは素数 $ n $ に対する以前の結果を拡張したものであり、主な貢献は合成数 $ n $ に対する非分裂記号代数の体系的な構成である。

ABSTRACT

In this paper we determine sufficient conditions for a quaternion algebra to split over a quadratic field. In the last section of the paper, we find a class of division symbol algebras of degree $n$ (where $n$ is a positive integer, $n\geq 3$) over a $p-$ adic field or over a cyclotomic field.

研究の動機と目的

• 二次体上で四元数代数が分裂するための十分条件を特定すること。
• $ \mathbb{Q}(i) $ 上の除法的四元数代数に関する以前の結果を、任意の次数 $ n \geq 3 $ の記号代数へ一般化すること。
• $ p $-進体および円分体上で非分裂記号代数のクラスを特定すること。

提案手法

• 分割の挙動を分析するために、アーベル＝ブローハー＝ハッセ＝ノイザーの定理およびブローハー群論を適用する。
• $ \mathbb{F}_p $ から $ \mathbb{Q}_p $ への拡張の上昇にヘンゼルの補題を用い、非分岐な巡回拡張を保証する。
• 局所体におけるノルム群を介した記号代数の分裂基準を用いる。
• $ \mathbb{Q}_p $ に $ n $ 乗根の単位根が存在するように保証するため、$ p \equiv 1 \pmod{n} $ を要請する。これにより、$ \left(\frac{\alpha,p}{\mathbb{Q}_p,\xi}\right) $ の構成が可能になる。
• $ l \mid n $ である任意の $ l $ に対して $ \alpha $ が $ p $ を法として $ l $ 乗剰余でないという条件を課し、拡張次数が正確に $ n $ になるように保証する。
• $ p \equiv 1 \pmod{n} $ のとき $ K = \mathbb{Q}(\xi) \subset \mathbb{Q}_p $ であるという事実を用い、円分体へのベースチェンジを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四元数代数 $ H_K(p,q) $ が二次体 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) $ 上で分裂する条件は何か？
• RQ2 $ p $-進体上で次数 $ n \geq 3 $ の記号代数 $ \left(\frac{a,b}{K,\xi}\right) $ が非分裂であるのはいつか？
• RQ3 このような記号代数が円分体 $ \mathbb{Q}(\xi) $ 上で非分裂のままであるための条件は何か？
• RQ4 $ \alpha $ が $ p $ を法として $ l $ 乗剰余でないという失敗が、記号代数の構造にどのように影響するか？
• RQ5 素数 $ n $ に対する結果を合成数 $ n $ に一般化できるか？

主な発見

• $ p \equiv 1 \pmod{n} $ かつ $ \alpha $ が任意の $ l \mid n $ に対して $ p $ を法として $ l $ 乗剰余でないとき、$ \left(\frac{\alpha,p}{\mathbb{Q}_p,\xi}\right) $ は $ \mathbb{Q}_p $ 上で非分裂代数である。
• $ K = \mathbb{Q}(\xi) $ を用いた記号代数 $ A = \left(\frac{\alpha,p}{K,\xi}\right) $ は、$ \mathbb{Q}_p $ へのベースチェンジにより $ K $ 上で非分裂であることが示される。
• $ \mathbb{Q}_p(\sqrt[n]{\alpha})/\mathbb{Q}_p $ の拡張は、次数 $ n $ の巡回的かつ非分岐であるため、$ p $ に対してノルム基準が成立しないことが保証される。
• $ \alpha $ がすべての $ l \mid n $ に対して $ p $ を法として $ l $ 乗剰余でないという条件は、多項式 $ Y^n - \alpha $ が $ p $ を法として因数分解されることを防ぐために不可欠であり、それにより拡張次数が低下するのを防ぐ。
• 本結果は、[Sa; 16] の定理 3.2 を素数 $ n $ から任意の $ n \geq 3 $ へ一般化したものであり、以前の条件の欠陥を是正している。
• この構成により、次数 $ n $ の非分裂記号代数のクラスが得られ、$ p $-進体および円分体上で除法的代数の新たな出処が得られる。