[論文レビュー] About the d-bar-equation at isolated singularities with regular exceptional set

Jean Ruppenthal|ArXiv.org|Mar 3, 2008

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、孤立特異点をもつ特異複素空間上の $\bar\partial$-方程式に対する、特異点の解消と特異点の余接束の幾何学を用いたコhomological障害理論を構築する。$L^2$ および $L^\infty$ 解消可能性の十分条件を、正則余接束 $X$ 上のコhomology群 $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ の消失によって特徴づけ、特に非特異な円錐に対して最適な Hölder 評価を得る。

ABSTRACT

Let Y be a pure dimensional analytic variety in C^n with an isolated singularity at the origin such that the exceptional set X of a desingularization of Y is regular. The main objective of this paper is to present a technique which allows to determine obstructions to the solvability of the d-bar-equation in the $L^2$ respectively $L^\infty$ sense on Y^*=Y-{0} in terms of certain cohomology classes on X. More precisely, let D be a Stein domain, relatively compact in Y, containing the origin, D^*=D-{0}. We give a sufficient condition for the solvability of the d-bar-equation in the $L^2$-sense on D^*; and in the $L^\infty$ sense, if D is in addition strongly pseudoconvex. If Y is an irreducible cone, we also give some necessary conditions and obtain optimal Hoelder estimates for solutions of the d-bar-equation.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ特異複素空間上での $\bar\partial$-方程式を解くための体系的かつ一貫した障害の特定法を構築すること。
• 特に $L^2$ および Hölder-正則性の枠組みにおいて、特異な Stein 空間上での完全な $\bar\partial$-理論の欠如に対処すること。
• 特異代数的多様体 $Y^*$ の正則部分上での $L^2$ および $L^\infty$ 解消可能性の必要十分条件を確立すること。
• $Y$ が非特異な円錐である場合に、解に対して最適な Hölder 評価を提供すること。
• 解消により得られる特異点の余接束 $X$ 上のコhomology群と、$Y^*$ 上での $\bar\partial$-方程式の解消可能性を結びつけること。

提案手法

• Hironaka の解消を用いて $Y$ の孤立特異点を解消し、滑らかな多様体 $M$ とその特異点の余接束 $X = \pi^{-1}(0)$ を得る。
• 正則部分 $Y^* = Y \setminus \{0\}$ 上での $\bar\partial$-方程式を、$M \setminus X$ 上への引き戻しを介して研究し、内在的な設定を活用する。
• 重み付き斉次多様体上での $\bar\partial$-積分公式を用いて解を構成し、その正則性を推定する。
• 特異点の余接束 $X$ 上での線分束 $\mathcal{O}(N^{-\mu})$ のコhomologyを分析し、障害を導出する。
• Riemann-Roch の定理および Serre 対称性を適用して、$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ や楕円曲線などの具体例に対して $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ を計算する。
• 同型 $H^q(M, \mathcal{O}_M) \cong \bigoplus_{\mu \geq 0} H^q(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ を用いて、$M$ 上のグローバルコhomology を $X$ 上のコhomology に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点の余接束 $X$ 上でのどのようなコhomological 条件が、$Y^*$ 上での $\bar\partial$-方程式の $L^2$ 解消可能性を保証するか？
• RQ2 特異空間 $Y$ が強く擬凸である場合に、$\bar\partial$-方程式が $Y^*$ 上で $L^\infty$ 解をもつための条件は何か？
• RQ3 非特異な円錐上での $\bar\partial$-方程式の解に対して、最適な Hölder 評価を得ることは可能か？
• RQ4 コhomology 群 $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ は、特異空間 $Y$ 上での $\bar\partial$-方程式の解消可能性とどのように関係するか？
• RQ5 特異点の余接束 $X$ の正規束 $N$ が、解消障害を決定づける際に果たす正確な役割は何か？

主な発見

• $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ がすべての $\mu \geq 1 - d$ で消失する（$d = \dim Y$）ことは、原点を含む $Y$ 内の Stein 領域 $\Omega$ 上での $\bar\partial$-方程式の $L^2$ 解消可能性の十分条件である。
• 強く擬凸な領域 $\Omega$ に対して、すべての $\mu \geq 1$ で $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ が消失するならば、$\Omega^*$ 上での $\bar\partial$-方程式の $L^\infty$ 解消可能性が保証される。
• 非特異な円錐に対して、本稿では $\bar\partial$-方程式の解に対して最適な Hölder 評価を導出しており、先行研究における有理二重特異点や商多様体の結果を拡張している。
• $Y = \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 : xy = z^2\}$ の場合、余接束 $X \cong \mathbb{C}\mathbb{P}^1$ はすべての $\mu \leq 1$ に対して $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu})) = 0$ を満たし、$L^2$ および $L^\infty$ 解消可能性が保証される。
• 楕円曲線を余接束とする場合、たとえば $Y = \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 : y^2 z = x^3 + a x z^2 + b z^3\}$ では、すべての $\mu \leq -1$ に対して $H^1(X, \mathcal{O}(N^{-\mu})) = 0$ であり、$L^\infty$ 解消可能性が保証される。
• 多様体 $M$ のグローバルコhomology は、$q \geq 1$ に対して $H^q(M, \mathcal{O}_M) \cong \bigoplus_{\mu \geq 0} H^q(X, \mathcal{O}(N^{-\mu}))$ を満たし、特異点の余接束に基づく完全なコhomology 分解を提供する。