[論文レビュー] About the seventh-order Kaup-Kupershmidt equation and its solutions

Alvaro H. Salas, Jairo Ernesto Castillo Hernández+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Cole-Hopf変換および2つの有理的双曲正弦・余弦アンザッツを用いて、7階Kupershmidt方程式の正確なソリトン解と周期的解を導出する。一般化Cole-Hopf変換を用いて1ソリトン解を導出し、tanh-cothおよびsinh-cosh有理的アンザッツを用いて、ソリトンおよび周期的波を含む18個の正確な解を取得した。波数に依存する位相速度および振幅の明示的表現が得られた。

ABSTRACT

In this letter we obtain exact soliton and periodic solutions to the seventh-order Kaup-Kupershmidt equation. We make use of the Cole-Hopf transformation and two particular rational hyperbolic functions ansatze.

研究の動機と目的

• 7階Kupershmidt方程式、すなわち高階非線形発展方程式に対する正確な解析的解を導出すること。
• 7階KdV型系におけるソリトン解および周期的波解の存在と構造を調査すること。
• 一般化Cole-Hopf変換および有理的双曲アンザッツを用いて、方程式を体系的に解くこと。
• 本稿の特定の方程式について、既存の文献に報告されていない新しい正確な解を提供すること。

提案手法

• 偏微分方程式を $ \zeta = \exp(kx - ct + \delta) $ の多項式に還元するため、一般化Cole-Hopf変換 $ u(x,t) = A\partial_{xx}\log(1 + \exp(kx - ct + \delta)) + B $ を用いる。
• アンザッツを7階Kaup-Kupershmidt方程式に代入し、$ \zeta $ の各べき乗の係数を0に等置することで定数を解く。
• 波動変換 $ \xi = x + \lambda t $ を用いて偏微分方程式を $ v(\xi) $ に関する常微分方程式に還元し、アンザッツによる解法を可能にする。
• tanh–cothアンザッツ $ v(\xi) = p + a\tanh(\mu\xi) + b\coth(\mu\xi) + c\tanh^2(\mu\xi) + d\coth^2(\mu\xi) $ を適用し、双曲的および三角関数的解を生成する。
• sinh–cosh有理的アンザッツ $ v(\xi) = p + \frac{k}{1 + c\sinh(\mu\xi) + d\cosh(\mu\xi)} $ を用いて、有理的および周期的解を導出する。
• 記号計算を用いて得られる代数的系を解き、パラメータの関係および正確な解の形を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cole-Hopf変換を用いて、7階Kaup-Kupershmidt方程式の正確なソリトン解および周期的解を導出可能か？
• RQ2 有理的双曲アンザッツが7階KdV型方程式に対して有効な解を生成するための条件は何か？
• RQ3 導出された解において、波速 $ \lambda $、振幅、形状は波数 $ \mu $ にどのように依存するか？
• RQ4 7階Kaup-Kupershmidt方程式について、文献に既に報告されていない新しい正確な解が存在するか？
• RQ5 解析接続またはパラメータの代入により、実数パラメータのアンザッツから複素数的および周期的解が出現しうるか？

主な発見

• 1ソリトン解は $ u_0(x,t) = -\frac{k^2}{24} + \frac{1}{4(1 + \cosh(kx + \frac{k^7}{48}t + \delta))} $ として得られ、波速は $ c = \frac{k^7}{48} $ である。
• tanh–cothアンザッツを用いることで12個の解が得られ、例えば $ u_1(x,t) = \frac{\mu^2}{3} - \frac{\mu^2}{2}\coth^2(\mu(x + \frac{4\mu^6}{3}t)) $ および $ u_3(x,t) = \frac{\mu^2}{3} - \frac{\mu^2}{2}\tanh^2(\mu(x + \frac{4\mu^6}{3}t)) $ が含まれ、波速は $ \lambda = \frac{4\mu^6}{3} $ である。
• sinh–cosh有理的アンザッツにより6個の追加解が得られ、たとえば $ u_7(x,t) = -\frac{\mu^2}{24} + \frac{\mu^2}{4(1 - \cosh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)))} $ が含まれ、波速は $ \lambda = \frac{\mu^6}{48} $ である。
• パラメータに $ \sqrt{-1} $ を含む解は周期的解を生成し、たとえば $ u_8(x,t) = \frac{\mu^2}{24} - \frac{\mu^2}{4(1 - \cos(\mu(x - \frac{\mu^6}{48}t)))} $ がその例である。
• パラメータ $ c = \pm \sqrt{d^2 - 1} $ を含む解は、一般化された有理的双曲形を生成し、たとえば $ u_{15}(x,t) = -\frac{\mu^2}{24} + \frac{\mu^2}{4(1 + d\cosh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)) + \sqrt{d^2 - 1}\sinh(\mu(x + \frac{\mu^6}{48}t)))} $ がその例である。
• すべての解が元の7階Kaup-Kupershmidt方程式を満たすことが確認され、本手法の整合性および文献における結果の新規性が裏付けられた。