[論文レビュー] Action Type Geometrical Equivalence of Representations of Groups

B. Plotkin, A. Tsurkov|ArXiv.org|Jan 21, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可換環 K 上の群表現における作用型代数幾何学を導入し、作用型幾何的同値、準簇、論理的ネーター性といった新たな概念を定義する。無限個の非同型な単純 $KF_2$-加群の存在を示し、それにより作用型論理的ネーターでない表現の構成がなされ、その超冪が作用型幾何的同値でないことが示され、群論における既知の結果と類似している。

ABSTRACT

For every variety of algebras and every algebras in these variety we can consider an algebraic geometry. Algebras may be many sorted (not necessarily one sorted) algebras. A set of sorts is fixed for each variety. This theory can be applied to the variety of representations of groups over fixed commutative ring with unit. We consider a representation as two sorted algebra. We concentrate on the case of the action type algebraic geometry of representations of groups. In this case algebraic sets are defined by systems of action type equations and equations in the acting group are not considered. This is the special case, which cannot be deduced from the general theory. In this paper the following basic notions are introduced: action type geometrical equivalence of two representations, action type quasi-identity in representations, action type quasi-variety of representations, action type Noetherian variety of representations, action type geometrically Noetherian representation, action type logically Noetherian representation.

研究の動機と目的

• 群の表現のための特殊な代数幾何学的枠組みを構築すること。特に作用型方程式に焦点を当て、作用群内の式を除外する。
• 作用型幾何的同値、作用型準簇、作用型論理的ネーター性といった新たな不変量を定義し、それらを研究すること。
• 準恒等式と超冪構成を用いて、作用型幾何的および論理的ネーター性の基準を確立すること。
• 非可算個の非同型な単純 $KF_2$-加群の存在を示し、表現論における古典的ネーター性仮定に挑戦すること。
• 作用型論理的ネーターでない表現を構成し、その超冪が元のものと幾何的に同値でないことを示し、群論における既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 表現を二種類のスライスを持つ代数系 $(V, G)$ として形式化し、$V$ を $K$-加群、$G$ を $V$ に作用する群とする。作用型方程式により代数的集合を定義する。
• 近似的基準（定理 5.1 の系 2）を用いて作用型幾何的同値を導入し、古典的幾何的同値に類似する。
• 作用型準恒等式を定義し、それらを用いて作用型準簇を特徴づける。Birkhoff型の記述（定理 7.1 の系 2）を用いる。
• 核部分表現および正規部分表現の概念を用いて、作用型閉包に関してイデアルの閉性を分析する。
• 超冪構成を用いて、元の表現と作用型幾何的に同値でない表現を生成する。論理的ネーター性の失敗に依拠する。
• 非可算個の非同型な単純 $KF_2$-加群の存在（定理 8.1）を活用し、論理的ネーター性に対する反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現が作用型論理的ネーター的であるが、作用型幾何的ネーター的でないことはあり得るか？
• RQ2 二つの表現が作用型幾何的に同値であるための条件は何か？近似による特徴づけは可能か？
• RQ3 非可算個の非同型な単純 $KF_2$-加群の存在は、作用型論理的ネーターでない表現の存在を示唆するか？
• RQ4 作用型論理的ネーターでない表現の超冪が、元のものと作用型幾何的に同値でないことはあり得るか？
• RQ5 可換環上の群表現の文脈において、作用型準簇と論理的ネーター性の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、非可算個（$eth_1 = eth_1$）の非同型な単純 $KF_2$-加群の存在を証明している。ここで $F_2$ は二つの生成元からなる自由群である。
• $|V| = \beth_0$ である表現 $(V, F_2)$ を構成し、これは作用型論理的ネーターでないことが示されている。これは、ある種のイデアルが作用型閉包でないという事実に起因する。
• 表現 $(V, F_2)$ は可算個の単純部分加群を持つが、非可算個の非同型な単純 $KF_2$-加群が存在するため、それらすべてが同じ超冪像に埋め込まれるとは限らない。
• $(V, F_2)$ の超冪 $(\tilde{V}, \tilde{F_2})$ を構成し、作用型幾何的同値でないことが示された。これは、作用型準簇閉包が異なるためである。
• 超冪は $\text{LQ}^{0}\text{Q}^{r}\text{SC}(\tilde{V}, \tilde{F_2}) \neq \text{LQ}^{0}\text{Q}^{r}\text{SC}(V, F_2)$ を満たし、定理 5.1 の系 2 に示された基準により非同値であることが確認された。
• この結果は、既知の群論における定理（[MR]）に類似しており、この文脈において論理的ネーター性が幾何的同値を意味しないことが示された。