[論文レビュー] Acyclic orientations and poly-Bernoulli numbers

Peter J‎. Cameron, Celia A. Glass+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、完全二部グラフ $K_{n_1,n_2}$ の無環向き付けと負の指数をもつ多項式ベルヌーイ数 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ の間の明示的関係を確立し、無環向き付けの数が $B_{n_1}^{(-n_2)}$ に等しいことを証明している。さらに、この数が単峰的であり、最大値をターラングラフ $T(2,n)$ でとることを示し、平衡完全二部グラフが無環向き付けの数を最大化するという予想を裏付けた。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is a formula for the number of acyclic orientations of a complete bipartite, $K_{n_1,n_2},$ revealing that it is equal to the poly-Bernoulli number $B_{n_1}^{(-n_2)}$ introduced in 1997 by Kaneko. We also give a simple bijective identification of acyclic orientations and lonesum matrices, confirming a 2008 result of Brewbaker, and show that the poly-Bernoulli numbers behave concavely, as well being symmetric. A second goal is to explore the behaviour of more general complete $r$-partite graphs in the space of the number of acyclic orientations. We prove that the number of acyclic orientations of complete bipartite graphs on $n$ vertices is a unimodular concave function maximised by the Turán graph $T(2,n).$ For tripartite graphs, we derive an explicit formula for its number of its acyclic orientations, for the specific case with a single vertex partition. For more complex complete $r$-partite graphs an algorithmic approach is suggested, taking advantage of the relationship with graph colouring through the result of Stanley, namely the value of the graph colouring polynomial at the value -1. An underlying theme is the exploration of the space of the number of acyclic orientations of graphs. We present various theoretical and computational results, with additional, conjectures for both complete $r$-partite and general graphs to guide future research.

研究の動機と目的

• 完全二部グラフ $K_{n_1,n_2}$ の無環向き付けの数と多項式ベルヌーイ数 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ の間の明示的公式を確立すること。
• 特に $r=2$ および $r=3$ の場合に、完全 $r$-部グラフにおける無環向き付けの数の単峰的かつ凹型の振る舞いを調査すること。
• 固定された $n$ および $m$ に対して、ターラングラフが無環向き付けの数を最大化することの最適性を検証し、「吊るしたカーテン予想」を支持すること。
• 双対的構成を用いて、無環向き付けとロンズム行列の関係を調べ、ブリューバーカー2008年の結果を確認すること。
• 頂点数 $n$、辺数 $m$ のグラフの空間において、平衡完全二部グラフの局所的最大性に関する予想に対して、計算的および理論的証拠を提供すること。

提案手法

• 組合せ的数え上げを用いて $K_{n_1,n_2}$ の無環向き付けの数の閉形式を導出し、色多項式の恒等式 $a(G) = (-1)^n P_G(-1)$ を用いて検証する。
• 無環向き付けとロンズム行列の間の双対的対応を確立し、負の指数をもつ多項式ベルヌーイ数への接続を確認する。
• スターリングの定理（色多項式を $-1$ で評価するもの）を応用し、完全 $r$-部グラフの $a(G)$ を計算する。これにより $r > 3$ の場合のアルゴリズム的計算が可能になる。
• オンライン整数列大辞典（OEIS）を用いて、無環向き付けの数と多項式ベルヌーイ数との間の関係を発見する。
• 小規模な $n$ に対する計算的検証を用い、$K_{n,n} \pm e$ や $K_{n-1,n+1}$ などの近傍における $a(G)$ の振る舞いに関する予想を検証する。
• 区間 $1 \leq k \leq n$ における列 $a(K_{k,n-k})$ を分析し、単峰性を証明するとともに、ターラングラフ $T(2,n)$ が最大値を与えることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全二部グラフ $K_{n_1,n_2}$ の無環向き付けの数は、多項式ベルヌーイ数 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ に等しいか？
• RQ2 列 $a(K_{k,n-k})$ は $k = \lfloor n/2 \rfloor$ で最大値をとり、これはターラングラフ $T(2,n)$ に対応するか？
• RQ3 頂点数 $n$、辺数 $m$ のすべてのグラフの中で、バランスの取れた分割をもつ完全二部グラフが、無環向き付けの数を最大にするか？
• RQ4 完全三部グラフにおける無環向き付けの数はどのように振る舞い、閉形式の公式を導出できるか？
• RQ5 「吊るしたカーテン予想」が示唆するように、$n$ 頂点と $m$ 辺をもつグラフにおける無環向き付けの最大数を表す関数 $A_n(m)$ は、ターラン点において凹型を示すか？

主な発見

• 完全二部グラフ $K_{n_1,n_2}$ の無環向き付けの数は、多項式ベルヌーイ数 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ に正確に等しく、直接的な公式導出およびロンズム行列との双対的対応により確認された。
• $1 \leq k \leq n$ における列 $a(K_{k,n-k})$ は単峰的であり、$k = \lfloor n/2 \rfloor$ または $k = \lceil n/2 \rceil$ で最大値をとる。これは、完全二部グラフの中でターラングラフ $T(2,n)$ が無環向き付けの数を最大にすることを確認する。
• 頂点数の和が $n$ である完全三部グラフ $K_{n_1,n_2,n_3}$ に対して、第4.2節で無環向き付けの数の閉形式の公式が導出された。
• 数値的証拠により、$a(K_{n,n}) - a(K_{n,n}-e)$ は $a(K_{n,n}+e) - a(K_{n,n})$ の約2倍であり、$n$ が大きくなるにつれてその比は2に近づくことが示された。これは辺の摂動効果に関する予想を支持する。
• 比 $\frac{a(K_{n,n}) - a(K_{n+1,n-1})}{a(K_{n,n}) - a(K_{n,n}-e)}$ は $n = 1000$ で約1.63に近づき、$K_{n,n}-e$ が $K_{n+1,n-1}$ よりも多くの無環向き付けを持つ可能性を示唆しているが、収束は完全ではない。
• $n=10, 100, 1000$ における計算結果から、$K_{n,n}$ は $K_{n-1,n+1}+e$ よりも多くの無環向き付けを持つことが示され、比 $\frac{a(K_{n,n}) - a(K_{n-1,n+1})}{a(K_{n-1,n+1}+e) - a(K_{n-1,n+1})}$ はゆっくりと約3.26に収束する傾向にあり、定数への収束の可能性を示唆している。