[論文レビュー] Adaptive and non-adaptive estimation for degenerate diffusion processes

Arnaud Gloter, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2番目の成分に拡散項が存在しないが、ドリフトパラメータに依存する退化型拡散過程（特異的楕円型構造を有する）に対する、適応的および非適応的推定手法を提案する。両成分の増分にわたる連携情報を利用することで、推定器は収束速度が向上し、漸近的分散が低減される。特に、拡散のない成分のドリフトパラメータに関して顕著な改善が得られる。正則性条件下で漸近的正規性が保証される。

ABSTRACT

We discuss parametric estimation of a degenerate diffusion system from time-discrete observations. The first component of the degenerate diffusion system has a parameter $θ_1$ in a non-degenerate diffusion coefficient and a parameter $θ_2$ in the drift term. The second component has a drift term parameterized by $θ_3$ and no diffusion term. Asymptotic normality is proved in three different situations for an adaptive estimator for $θ_3$ with some initial estimators for ($θ_1$ , $θ_2$), an adaptive one-step estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) with some initial estimators for them, and a joint quasi-maximum likelihood estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) without any initial estimator. Our estimators incorporate information of the increments of both components. Thanks to this construction, the asymptotic variance of the estimators for $θ_1$ is smaller than the standard one based only on the first component. The convergence of the estimators for $θ_3$ is much faster than the other parameters. The resulting asymptotic variance is smaller than that of an estimator only using the increments of the second component.

研究の動機と目的

• 2番目の成分に拡散項がないという特徴を持つ退化型拡散過程におけるパrametric推定を扱い、標準的手法では困難な課題に取り組む。
• 成分間の依存性を活用することで、特に拡散のない成分のドリフトパラメータの推定効率を向上させる推定器を開発する。
• 両成分からの増分情報を統合して、ドリフトパラメータθ₃の推定器の漸近的正規性と効率性向上を確立する。
• 観測間隔が消失する離散的高頻度観測下において、適応的および1ステップ推定器の理論的裏付けを提供する。
• θ₁の漸近的分散が、第1成分のみに依存する推定器と比較して小さくなることが示され、成分間の相関情報による影響を明らかにする。

提案手法

• 初期推定器 (θ₁, θ₂) を用いて、両成分の連携ダイナミクスを活用し、θ₃の適応的推定器を構築する。
• 両成分の増分情報を取り入れることで効率性を向上させる、(θ₁, θ₂, θ₃) の1ステップ推定器を提案する。
• 初期推定器を必要とせず、(θ₁, θ₂, θ₃) の同時準最尤推定器を用いることで、一貫性および漸近的正規性を保証する。
• Yの増分の遷移密度に対して局所的ガウス近似を適用し、Xのダイナミクスにおける共変量Yを組み込むことで精度を高める。
• 確率場の議論とマルティンゲール中心極限定理を用いて、推定関数およびその導関数の収束を証明する。
• 推定方程式およびヘッセ行列の近似の収束を用いて、漸近的正規性を確立する。条件 [A1]、[A2]、[A3(ii)]、および [A4♯](i) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2番目の成分に拡散項がない場合、退化型拡散過程におけるドリフトパラメータθ₃の効率的推定は可能か？
• RQ2 両成分の増分情報を取り入れることで、推定器の漸近的分散および収束速度にどのような影響が生じるか？
• RQ3 統合的情報と周辺的情報の両方を用いた場合、特異的楕円型拡散モデルにおけるパラメータ推定の効率性にどのような差が生じるか？
• RQ4 高頻度離散観測下（nh → ∞ かつ nh² → 0）において、適応的および1ステップ推定器が漸近的正規性および効率性を達成できるか？
• RQ5 θ₁の漸近的分散は、両成分の情報を利用する場合と第1成分の増分のみに依存する場合とでどのように異なるか？

主な発見

• θ₁の推定器の漸近的分散は、第1成分のみに依存する標準的推定器よりも小さい。これは、成分間の相関情報による影響のおかげである。
• θ₃の収束速度はθ₁およびθ₂と比較して顕著に速く、第2成分の増分のみに依存する推定器と比較して、漸近的分散が小さい。
• 両成分の増分情報を統合した準最尤推定器は、初期推定器を必要とせず、正則性条件下で漸近的正規性を達成する。
• 一貫性のある初期推定器を用いた1ステップ推定器は、極限分布がN(0, diag[(Γ⁽¹⁾)⁻¹, Γ₂₂⁻¹]) となるように漸近的正規性を達成する。
• θ₂の推定器はθ₁の推定器と漸近的に直交しており、ブロック対角型の漸近的分散共分散行列を持つ、同時に漸近的正規性が成立する。
• 条件 [A1] において、θ₂に関しては (i_A,j_A,i_B,j_B,i_H,j_H) = (1,1,2,1,0,0)、ヘッセ行列に関しては (1,3,2,1,0,0) を満たし、[A2]、[A3(ii)]、[A4♯](i) を併用することで、推定器の漸近的正規性が確立される。