[論文レビュー] Adaptive nonparametric estimation for compound Poisson processes robust to the discrete-observation scheme

Alberto J. Coca|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般のカルデロン–ジーグムンド積分作用素を用いたスペクトル法により、離散時刻で観測された複合ポアソン過程のリーヴィ密度の、適応的で非パrametricな推定量を提案する。この手法は、$L^p$損失の下でベゾフ球上で最小最大最適な推定速度を達成し、高周波・低周波・任意周波数の観測スキームに対してもロバストである。Lepskiの手法と、経験的特徴関数のための新規な集中不等式を活用することで実現される。

ABSTRACT

A compound Poisson process whose jump measure and intensity are unknown is observed at finitely many equispaced times. We construct a purely data-driven estimator of the Lévy density $ν$ through the spectral approach using general Calderon--Zygmund integral operators, which include convolution and projection kernels. Assuming minimal tail assumptions, it is shown to estimate $ν$ at the minimax rate of estimation over Besov balls under the losses $L^p(\mathbb{R})$, $p\in[1,\infty]$, and robustly to the observation regime (high- and low-frequency). To achieve adaptation in a minimax sense, we use Lepskiĭ's method as it is particularly well-suited for our generality. Thus, novel exponential-concentration inequalities are proved including one for the uniform fluctuations of the empirical characteristic function. These are of independent interest, as are the proof-strategies employed to deal with general Calderon--Zygmund operators, to depart from the ubiquitous quadratic structure and to show robustness without polynomial-tail conditions. Part of the motivation for such generality is a new insight we include here too that, furthermore, allows us to unify the main two approaches to construct estimators used in related literature.

研究の動機と目的

• 一般の離散観測スキームの下で、複合ポアソン過程のリーヴィ密度のデータ駆動型で適応的な推定量を開発すること。
• すべての $p \in [1, \infty]$ に対して、$L^p$損失の下でベゾフ球上で最小最大最適な推定速度を達成すること。
• 多項式尾を持つジャンプ測度を仮定せず、高周波・低周波・任意周波数の観測スキームに対してもロバストであることを保証すること。
• カルデロン–ジーグムンド作用素に基づく一般枠組みを用いて、非パラメトリックリーヴィ過程推定分野における二大アプローチを統一すること。
• ジャンプ測度の尾に最小限の仮定を置く条件下で、経験的特徴関数の均一な変動を制御するための新規な指数的集中不等式を確立すること（独立に興味ある結果）。

提案手法

• 推定量は、一般のカルデロン–ジーグムンド積分作用素を用いたスペクトル的手法により構築され、畳み込みや射影カーネルを一般化する。
• Lepskiの手法を用いて、複数のスムージングレベルにおけるバイアスとバイアスのバランスを最適化することで、最小最大の意味での適応性を達成する。
• 増分の経験的特徴関数に依存し、周波数帯域におけるその均一な変動のための集中不等式を導出する。
• ジャンプ測度の尾に最小限の仮定を置く条件下で、経験的特徴関数の実部および虚部のための新規な指数的集中不等式を証明する。
• 2次構造に依存しないアプローチを採用し、調和解析の道具を用いて一般カルデロン–ジーグムンド作用素を扱い、制限的なモーメントまたは尾条件を回避する。
• リーヴィ測度の多項式減衰を仮定せず、最小限の正則性および可積分性条件に依存することで、観測スキームに対するロバスト性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋にデータ駆動型の適応的非パラメトリック推定量が、離散観測下の複合ポアソン過程におけるリーヴィ密度推定で最小最大最適な速度を達成できるか？
• RQ2 ジャンプ測度に多項式尾の条件を課さずに、高周波・低周波・任意周波数の観測スキームに対してもロバストな推定量を構築可能か？
• RQ3 一般カルデロン–ジーグムンド作用素を用いた非線形逆問題設定において、Lepskiの手法を効果的に適用できるか？
• RQ4 この一般設定において、経験的特徴関数の均一な変動を制御するために必要な新規な集中不等式は何か？
• RQ5 文献における二大アプローチ（小時間展開とスペクトル法）を、一貫した枠組みで統一できるか？

主な発見

• 提案された推定量は、すべての $p \in [1, \infty]$ に対して、$L^p(\mathbb{R})$ 損失の下でベゾフ球上で最小最大収束速度を達成する。
• 推定量は観測スキームに対してロバストである。サンプリング周波数が高かろうが低かろうが、任意のものであろうが、最適な性能を発揮する。
• Lepskiの原理を用いた適応性により、滑らかさに関する事前知識がなくても、データから最適なスムージングレベルが選択可能である。
• 経験的特徴関数の均一な偏差のための新規な指数的集中不等式が確立され、そのバインディングは観測時間およびリーヴィ強度に依存する。
• 2次構造に依存しない証明フレームワークを採用し、畳み込みに基づく手法にとどまらず、任意のカルデロン–ジーグムンド積分作用素に一般化可能である。
• 本研究は、小時間展開とスペクトル推定法の両者を統一する視点を提供し、複合ポアソン過程の非パラメトリック推論において重要な統合的枠組みを構築する。