[論文レビュー] Adaptive wavelet estimation of a compound Poisson process

Céline Duval|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、離散的かつ高頻度に増加する間隔で観測される複合ポアソン過程のジャンプ密度に対する適応的ウェーブレットしきい値推定器を提案する。合成作用素を逆写像する際に、逆作用素のテイラー展開を用い、推定された増分にウェーブレットしきい値処理を施すことにより、$L_p$ 損失に関してベゾフ空間上での最小最大最適収束速度を達成する。$T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ を満たす任意の $K \geq 1$ に対して、$\Delta_T$ が $T$ に対して多項式的にゆっくり減少する場合でも成立する。推定器は未知の滑らかさに適応し、データ駆動による推定により未知の強度 $\vartheta$ も処理できる。

ABSTRACT

We study the nonparametric estimation of the jump density of a compound Poisson process from the discrete observation of one trajectory over $[0,T]$. We consider the microscopic regime when the sampling rate $Δ=Δ_T ightarrow0$ as $T ightarrow\infty$. We propose an adaptive wavelet threshold density estimator and study its performance for the $L_p$ loss, $p\geq 1$, over Besov spaces. The main novelty is that we achieve minimax rates of convergence for sampling rates $Δ_T$ that vanish with $T$ at arbitrary polynomial rates. More precicely, our estimator attains minimax rates of convergence provided there exists a constant $K\geq 1$ such that the sampling rate $Δ_T$ satisfies $TΔ_T^{2K+2}\leq 1.$ If this condition cannot be satisfied we still provide an upper bound for our estimator. The estimating procedure is based on the inversion of the compounding operator in the same spirit as Buchmann and Grübel (2003).

研究の動機と目的

• 離散的かつ高周波観測から得られる複合ポアソン過程のジャンプ密度に対する非パラメトリックな適応的ウェーブレット推定器の開発。
• $\Delta_T \to 0$ となる $T \to \infty$ の下で、ベゾフ空間上での $L_p$ 損失に対する最小最大最適収束速度の達成。
• 従来の制限的条件 $T\Delta_T \leq 1$ を超えて、$\Delta_T$ の任意のゆっくりとした多項式的減少を許容する結果の拡張。
• 強度 $\vartheta$ が未知の場合に、データから推定することで対処する。

提案手法

• 作用素 $f \mapsto \mathbf{P}_\Delta[f]$ の逆作用素を、$\Delta$ における $K$ 階のテイラー展開を用いて反転し、$\mathbf{L}_{\Delta,K}$ を得る。これは $\mathbf{P}_\Delta^{-1}$ の近似である。
• 逆作用素は $\mathbf{P}_\Delta^{-1}[\nu] = \sum_{m \geq 1} a_m(\vartheta, \Delta) \nu^{\star m}$ と表現され、係数 $a_m$ は $\vartheta$ と $\Delta$ に依存する明示的な式で導出される。
• 推定器 $\widehat{f}^K_{T,\Delta_T}(\widehat{\vartheta})$ は、離散パスからの非ゼロ増分に基づき、$m=1,\dots,K+1$ について $\mathbf{P}_\Delta[f]^{\star m}$ の経験的推定値にウェーブレットしきい値処理を施すことにより構築される。
• 強度 $\vartheta$ は、非ゼロ増分数 $N_T$ から $\widehat{\vartheta} = N_T / T$ を用いて推定され、微視的スケール下で一貫性を示す。
• バイアスと分散の低減のため、デコンパウンド増分にウェーブレットしきい値処理を施し、データと滑らかさのレベルに応じてしきい値を適応的に選択する。
• 理論的性能は、モーメントの上限とローゼンタールの不等式を用いて分析され、$L_p$ リスクを制御し、条件 $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ の下で最小最大最適性が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプリングレート $\Delta_T$ が $T$ に対して多項式的にゆっくり減少する場合に、適応的ウェーブレット推定器が、複合ポアソン過程のジャンプ密度に対して最小最大収束速度を達成できるか。
• RQ2 微視的スケール $\Delta_T \to 0$ となる $T \to \infty$ の下で、任意の $K \geq 1$ に対して $T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ を満たす場合に、最小最大最適性を維持できるか。
• RQ3 未知の強度 $\vartheta$ と離散的・高周波観測の下で、合成作用素をどのように堅牢に逆写像できるか。
• RQ4 未知の滑らかさをベゾフ空間上で適応しつつ、最適な $L_p$ 収束速度を維持できるか。

主な発見

• 提案されたウェーブレットしきい値推定器は、$T\Delta_T^{2K+2} \leq 1$ を満たすある $K \geq 1$ に対して、$\Delta_T$ が任意にゆっくりと多項式的に減少する場合でも、ベゾフ空間上での $L_p$ 損失に対して最小最大最適収束速度を達成する。
• 推定器は、$T$ 個の $f$ からの独立同分布標本が観測可能であった場合に達成可能な古典的最小最大レート $T^{-\alpha(s,\pi,p)}$ を定数および対数因子の違いを除き達成する。
• $L_p$ リスクは $\mathfrak{C}(T^{-(1-1/(2p))} + T^{-1/2})$ で有界であり、$\alpha(s,p,\pi) \leq 1/2$ であるため、最小最大レート $T^{-\alpha(s,p,\pi)}$ に比べて無視できる。
• 強度 $\vartheta$ は $\widehat{\vartheta} = N_T / T$ により一貫して推定され、その結果得られる推定器は依然として適応的かつ最小最大最適性を保つ。
• $T\Delta_T^{2K+2} > 1$ の場合でも、リスクに対する非自明な上界が得られ、遅いサンプリングに対してロバストであることが示される。
• 理論的分析は、合成作用素のフーリエ逆写像と、ローゼンタールの不等式によるモーメントの上限に依存し、デコンパウンド段階における確率的誤差を制御する。