[論文レビュー] Addendum to " Sum rules via large deviations "

Fabrice Gamboa, Jan Nagel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スペクトル測度の大偏差原理（LDP）の証明における空白を解消するために、凸なレート関数と非凸なレート関数の両方を含む一般化された定理を導入する。この方法は、連続するモーメント生成関数の収束と露出点条件に依存し、スペクトル行列測度および単位円上のスペクトル測度の連続LDPを、個々のレート関数が非凸であっても導出可能にする。

ABSTRACT

In these notes we fill a gap in a proof in Section 4 of Gamboa, Nagel, Rouault [Sum rules via large deviations, J. Funct. Anal. 270 (2016), 509-559]. We prove a general theorem which combines a LDP with a convex rate function and a LDP with a non-convex one. This result will be used to prove LDPs for spectral matrix measures and for spectral measures on the unit circle.

研究の動機と目的

• Gamboa, Nagel, and Rouault (2016) におけるスペクトル測度のLDPの証明における空白を解消すること。
• 凸および非凸レート関数を含むLDPを組み合わせる一般枠組みを確立すること。
• 標準的手法が非凸レート関数のため失敗する状況において、スペクトル行列測度および単位円上でのスペクトル測度の連続LDPの証明を可能にすること。
• 元の文脈を超えて一般に適用可能な自己完結的で汎用的な定理を提供すること。応用分野には確率的行列理論および統計力学が含まれる。

提案手法

• 凸レート関数と非凸レート関数の両方を含む2つのLDPを組み合わせる一般定理（定理3.1）を導入する。
• 連続するモーメント生成関数の収束を用いる：lim_{n→∞} (1/n) log E[exp(n⟨x*,X_n⟩ + nφ(Y_n))] = G_X(x*) + J(φ) （x* ∈ D および φ ∈ C_b(Y) に対して）。
• Brycの逆Varadhan補題およびBaldiの定理のバージョンを適用して、レート関数 G_X^* および I_Y を特定する。
• 露出点に密度条件を課す：G_X^*(x) < ∞ であるすべての x は、γ > 1 に対して γx_k^* ∈ D を満たす露出点 x_k で近似可能である。
• 連続LDPが (X_n, Y_n) に対して、良いレート関数 I(x,y) = G_X^*(x) + I_Y(y) を持つことを確立する。ここで I_Y(y) = sup_φ {φ(y) - J(φ)} である。
• トレuncated固有値およびコンパクト区間上の測度の文脈において、モーメント生成関数の収束および露出点条件を満たすことで、スペクトル測度への応用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片方の周辺分布のレート関数が非凸である場合、標準的な連続LDPの証明手法が不成立となる状況で、2つの確率変数の連続LDPを確立できるか？
• RQ2 連続するモーメント生成関数の収束を用いて、凸および非凸の大偏差原理を組み合わせることは可能か？
• RQ3 片方の成分が凸性を欠く場合、連続LDPのレート関数が良いものでかつ一意に特定可能であるための条件は何か？
• RQ4 露出点近似を用いることで、凸レート関数に限らないLDPの結果をどのように拡張できるか？
• RQ5 この一般枠組みを用いて、スペクトル行列測度および単位円上でのスペクトル測度のLDPを証明できるか？

主な発見

• 非凸である可能性がある I_M,λ^± でさえも、(μ̃_I^(n), λ_M^±) の連続LDPは、良いレート関数 I(μ,λ) = G^*(μ) + I_M,λ^±(λ) を持つ。
• Gamboa, Nagel, and Rouault (2016) の定理4.2の証明は、特に露出点近似条件を満たす定理3.1の仮定を検証することで完了する。
• 連続するモーメント生成関数は、lim_{n→∞} (1/n) log E[exp(n∫fdμ̃_I^(n) + nφ(λ_M^±))] = G(f) + J(φ) に収束する。ここで G(f) = -∫log(1-f)dμ_V である。
• G^*(μ) < ∞ であるすべての測度 μ は、正の連続密度を持つ測度で弱収束的に近似可能であり、これにより露出点条件が満たされる。
• レート関数 G^* は、測度の稠密な集合上で強く凸であるが、主結果は双対レート関数 H^* が非凸であっても成立する。
• この方法により、古典的な凸性の仮定が成立しないスペクトル測度への大偏差理論の適用範囲が成功裏に拡張された。