[论文解读] Adiabatic groupoids and secondary invariants in K-theory

Vito Felice Zenobi|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文通过使用阿迪亚巴特变形群胚 $G_{ad}^{\bullet}$，引入了李群胚的新的K-理论二次不变量，推广了粗糙几何与叶状丛理论中的早期工作。通过李群胚版本的非局部APS指标定理，建立了这些不变量的错误方向函子性（下推映射），并推导出二次不变量的乘积公式，将高阶指标理论框架扩展至奇异与非紧致几何。

ABSTRACT

In this paper we define K-theoretic secondary invariants attached to a Lie groupoid $G$. The K-theory of $C^*_r(G_{ad}^0)$ (where $G_{ad}^0$ is the adiabatic deformation $G$ restricted to the interval $[0,1)$) is the receptacle for K-theoretic secondary invariants. We give a Lie groupoid version of construction given by Piazza and Schick in the setting of the Coarse Geometry. Our construction directly generalises to more involved geometrical situation, such as foliations, well encoded by a Lie groupoid. Along the way we tackle the problem of producing a wrong-way functoriality between adiabatic deformation groupoid K-groups with respect to transverse maps. This extends the construction of the lower shriek map given by Connes and Skandalis. Moreover we attach a secondary invariant to the two following operators: the signature operator on a pair of homotopically equivalent Lie groupoids; the Dirac operator on a Lie groupoid equipped with a metric that has positive scalar curvature $s$-fiber-wise. Furthermore we prove a Lie groupoid version of the Delocalized APS Index Theorem of Piazza and Schick. Finally we give a product formula for the secondary invariants and we state stability results about cobordism classes of Lie groupoid structures and bordism classes of Lie groupoid metric with positive scalar curvature along the $s$-fibers. This is the revised version accepted by Advances in Mathematics.

研究动机与目标

• 通过阿迪亚巴特变形群胚 $G_{ad}^{\bullet}$ 定义李群胚的K-理论二次不变量。
• 将Higson-Roe与Piazza-Schick的二次不变量推广至更复杂的几何设定，如叶状丛。
• 在横截群胚态射下，为二次不变量建立错误方向函子性（下推映射）。
• 证明李群胚版本的非局部Atiyah-Patodi-Singer指标定理。
• 推导阿迪亚巴特群胚C*-代数K-理论中二次不变量的乘积公式。

提出的方法

• 当主指标类 $\partial[D] \in K_{*+1}(S \otimes B)$ 为零时，将二次不变量 $\varrho(D,w)$ 构造为 $K_*(E)$ 中的规范提升。
• 利用李群胚 $G$ 在 $[0,1)$ 上的阿迪亚巴特变形 $G_{ad}^\circ$，定义二次不变量的承载空间 $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$。
• 应用具有 $S = C_0(0,1)$ 的C*-代数精确序列框架，定义K-理论类的层级结构：基本类、主不变量与二次不变量。
• 通过构造映射 $\varphi: A' \to B$ 诱导KK理论中的边界映射，建立错误方向函子性，使阿迪亚巴特群胚K-群之间存在下推映射。
• 利用光滑横截1-上循环的分类空间构造，将几何数据与K-理论不变量联系起来。
• 应用Yu与Roe的局部化代数与C*-代数技术，将指标理论工具扩展至非紧致与奇异群胚设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将K-理论中的二次不变量从粗糙几何推广至李群胚，特别是在叶状丛的背景下？
• RQ2 与李群胚 $G$ 相关的二次不变量的正确K-理论承载空间是什么？
• RQ3 能否在横截群胚态射下为二次不变量构造错误方向函子性（下推映射）？
• RQ4 李群胚版本的非局部APS指标定理是否成立，它与二次不变量有何关系？
• RQ5 二次不变量的乘积结构是什么，它如何与阿迪亚巴特变形结构相互作用？

主要发现

• 当主指标类 $\partial[D]$ 为零时，本文在 $K_*(E)$ 中构造了二次不变量 $\varrho(D,w)$ 作为规范提升，其中使用了为该零化指定的“理由”$w$。
• 二次不变量的承载空间被确定为 $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$，其中 $G_{ad}^\circ$ 是 $G$ 在 $[0,1)$ 上的阿迪亚巴特变形，推广了先前的构造。
• 通过映射 $\varphi: A' \to B$ 诱导KK理论中的边界映射，建立了错误方向函子性，将下推映射扩展至阿迪亚巴特群胚设定。
• 证明了李群胚版本的非局部APS指标定理，将二次不变量与群胚上横截椭圆微分算子的指标理论联系起来。
• 推导出二次不变量的乘积公式，表明其与K-理论中的上积及阿迪亚巴特变形结构相容。
• 证明了该构造是函子性且同伦不变的，分类空间 $BG$ 实现了群胚上同调的普遍1-上循环，从而实现了不变量的几何实现。