[論文レビュー] Adiabatic Quantum Simulation Using Trotterization

Yin Sun, Jun-Yi Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の双線形相互作用を有するボソン系ハミルトニアンのための、Trotter化された断熱的量子シミュレーションの静的線形光学的実装を提案する。時間発展演算子を固定された光学アレイにマッピングすることにより、ハミルトニアンの非ゼロ行列要素が疎である場合、系サイズ $N$ に対して Trotter 数 $k$ が非線形に増加するが、光学素子のパrameterの変動に対しても頑健である。

ABSTRACT

As first proposed for the adiabatic quantum information processing by Wu, Byrd and Lidar [ Phys. Rev. Lett. 89, 057904 (2002)], the Trotterization technique is a very useful tool for universal quantum computing, and in particular, the adiabatic quantum simulation of quantum systems. Given a boson Hamiltonian involving arbitrary bilinear interactions, we propose a static version of this technique to perform an optical simulation that would enable the identification of the ground state of the Hamiltonian. By this method, the dynamical process of the adiabatic evolution is mapped to a static linear optical array which avoids the errors caused by dynamical fluctuations. We examine the cost of the physical implementation of the Trotterization, i.e. the number of discrete steps required for a given accuracy. Two conclusions are drawn. One is that number of required steps grows much more slowly than system size if the number of the non-zero matrix elements of Hamiltonian is not too large. The second is that the fluctuation of the parameters of optical elements does not affect the first conclusion. This implies that the method is robust against errors.

研究の動機と目的

• 時間変動する制御による動的エラーを回避する静的光学的実装の開発。
• 異なるハミルトニアンのスパarsity構造に対して、Trotter数 $k$ が系サイズ $N$ に対してどのようにスケーリングするかの分析。
• 光学素子のパrameterの変動に対するシミュレーションの耐性の評価。
• 量子シミュレーションを用いたNP困難な対角化問題に対する効率的な基底状態準備が可能であることを示す。

提案手法

• Trotter-Suzuki分解を用いて、時間発展演算子 $U(T) = \tilde{\tau} \text{exp}[-i \tau H(a\tau)]$ を $k$ 個の連続的ステップに離散化し、各ステップの長さを $\tau = T/k$ とする。
• 時間発展を、容易に準備可能な初期ハミルトニアン $H_0$ から目的の問題ハミルトニアン $H_p$ への断熱的発展演算を、固定された光学素子を有する静的線形光学回路にマッピングする。
• 光学部品のパrameterの変動が与える影響をモデル化・分析するために、ランダム化Trotter公式（RTF）を用いる。
• 光子の自由度（例えば偏光、空間モード）を用いてキュービットを符号化し、被動的線形光学を介してユニタリ操作を実現する。
• 直接的対角化により $H_p$ の真の基底状態とシミュレートされた最終状態との間のfidility $|\braket{\tilde{\rho}_{ad}}{\rho_f}|^2$ を数値的に評価する。
• 3種類のハミルトニアンタイプ（五重対角型（低密度）、スパース（固定50%密度）、完全密度（100%密度））に対して、系サイズ $N$ に伴う必要となるTrotter数 $k$ の依存性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的制御エラーを排除するために、静的光学アレイを用いた断熱的量子シミュレーションを効果的に実装可能か？
• RQ2 問題ハミルトニアン $H_p$ のスパarsityパターンに応じて、必要となるTrotter数 $k$ が系サイズ $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 光学素子のパrameterの変動が、$k$ と $N$ 間のスケーリングにどの程度影響を及えるか？
• RQ4 ランダム化Trotter公式は、実験的不完全性がシミュレーションのfidilityに与える影響を正確にモデル化できるか？
• RQ5 この手法は、行列対角化など古典的には困難な問題に対して、高精度な基底状態準備を達成できるか？

主な発見

• ハミルトニアン $H_p$ が非ゼロ非対角要素の密度が低い場合、例えば五重対角型の場合、Trotter数 $k$ は系サイズ $N$ に対して非線形に増加するが、$k$ はほぼ一定に保たれる。
• 非ゼロ非対角要素が50%のスパースな $H_p$ の場合、標準Trotter化では $k$ が $N$ に対して勾配 0.80 で線形に増加し、ランダム化Trotter公式では勾配 0.88 で増加する。
• 完全密度の $H_p$ の場合、標準Trotter化では $k$ が $N$ に対して勾配 1.62 で、ランダム化Trotter公式では勾配 1.63 で線形に増加する。これはスパースな場合と比較して必要なステップ数が2倍であることを示しており、スケーリングの違いを裏付けている。
• すべてのハミルトニアンタイプにおいて、標準的およびランダム化Trotter公式の結果がほぼ同一の勾配を示すことで、$k$ の $N$ に対するスケーリングがパrameterの変動に対して頑健であることが確認された。
• 主な誤差源は、Trotter-Suzuki展開における $O(1/k)$ 項であり、$\tau_a$ の変動によるものではない。これは、実験的不完全性に対して本手法が耐性を持つことを裏付けている。
• 数値的結果から、密度が高く、スパースな場合に $E_{pg}^2 \rightarrow \text{const} \times N$ となることが示され、$k$ が $N$ に対して線形に増加する理由が説明される。一方、五重対角型では $E_{pg}$ が有界であるため、$k$ はほぼ一定に保たれる。