[論文レビュー] Adjointability of densely defined closed operators and the Magajna-Schweizer Theorem

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|May 17, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、C*-代数 $\mathcal{A}$ 上のヒルベルト $C^*$-加群間の稠密に定義された閉作用素が正則であるための必要十分条件として、$\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることであることを確立している。また、すべてのこのような作用素が随伴可能であることは $\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることと同値であり、ヒルベルト $C^*$-加群上の非有界作用素論における重要な問題を解決している。

ABSTRACT

In this notes unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules over arbitrary $C^*$-algebras are discussed. A densely defined operator $t$ possesses an adjoint operator if the graph of $t$ is an orthogonal summand. Moreover, for a densely defined operator $t$ the graph of $t$ is orthogonally complemented and the range of $P_FP_{G(t)^\bot}$ is dense in its biorthogonal complement if and only if $t$ is regular. For a given $C^*$-algebra $\mathcal A$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules is regular, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules admits a densely defined adjoint operator, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators. Some further characterizations of closed and regular modular operators are obtained. Changes 1: Improved results, corrected misprints, added references. Accepted by J. Operator Theory, August 2007 / Changes 2: Filled gap in the proof of Thm. 3.1, changes in the formulations of Cor. 3.2 and Thm. 3.4, updated references and address of the second author.

研究の動機と目的

• ヒルベルト $C^*$-加群上の稠密に定義された閉作用素が随伴可能でかつ正則である条件を特定すること。
• すべての稠密に定義された閉 $\mathcal{A}$-線形作用素が稠密に定義された随伴をもつための $C^*$-代数的条件を同定すること。
• 正則性と随伴可能性の完全な特徴付けを、基になる $C^*$-代数がコンパクト作用素の $C^*$-代数に同型であることと関連付けること。
• ヒルベルト $C^*$-加群における作用素のグラフの直交補空間との関係と正則性の関係を解明すること。
• マガニャ＝シュバイツァーの定理を、任意の $C^*$-代数上のヒルベルト $C^*$-加群における非有界正則作用素の設定に拡張すること。

提案手法

• 稠密に定義された閉作用素 $t$ のグラフを $E \oplus F$ の部分加群として解析し、それが直交補空間である条件を検討すること。
• 作用素 $t$ の正則性を特徴付けるために、$P_F P_{G(t)^\bot}$ の像がその双直交補空間において稠密であるという条件を用いること。
• 任意の $x \in \text{Dom}(t)$, $y \in \text{Dom}(t^*)$ に対して、$\mathcal{A}$-値内積の恒等式 $\langle tx, y\rangle_F = \langle x, t^*y\rangle_E$ を用いて随伴可能性を定義すること。
• すべての稠密に定義された閉作用素が稠密に定義された随伴をもつならば、$C^*$-代数 $\mathcal{A}$ はコンパクト作用素の $C^*$-代数でなければならないことを証明すること。
• 最小射影によって誘導される $B(E) \to B(E_e)$ の $*$-同型 $\Phi$ を用い、$E_e = eE$ を通じて問題をヒルベルト空間に還元すること。
• 写像 $t \mapsto F_t = t(1 + t^*t)^{-1/2}$ を用いて、ヒルベルト $C^*$-加群上の非有界作用素とヒルベルト空間上の有界作用素との間の関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト $C^*$-加群上の稠密に定義された閉作用素がいつ随伴可能になるか？
• RQ2 $\mathcal{A}$-線形作用素がヒルベルト $\mathcal{A}$-加群間で稠密に定義された閉作用素であるとき、そのすべてが正則であるための $\mathcal{A}$ の条件は何か？
• RQ3 稠密に定義された閉作用素の随伴が稠密に定義されるための条件は何か？
• RQ4 $\mathcal{A}$ の構造が非有界作用素の随伴の存在性と正則性にどのように影響するか？
• RQ5 ヒルベルト $C^*$-加群上の非有界作用素が最小射影を用いてヒルベルト空間上の作用素にどの程度まで還元可能か？

主な発見

• ヒルベルト $\mathcal{A}$-加群間の稠密に定義された閉作用素 $t$ が正則であるための必要十分条件は、$t$ のグラフが直交補空間であり、$P_F P_{G(t)^\perp}$ の像がその双直交補空間において稠密であることである。
• すべての稠密に定義された閉 $\mathcal{A}$-線形作用素がヒルベルト $\mathcal{A}$-加群間で正則であるための必要十分条件は、$\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることである。
• すべての稠密に定義された閉作用素がヒルベルト $\mathcal{A}$-加群間で稠密に定義された随伴をもつことは、$\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることと同値である。
• すべての稠密に定義された閉作用素の核と像（ノルム閉範囲をもつもの）がヒルベルト $\mathcal{A}$-加群において直交補空間であるための必要十分条件は、$\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の $C^*$-代数であることである。
• $\mathcal{A}$ がコンパクト作用素の部分代数としての忠実な $*$-表現をもたないような任意の $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ に対して、正則でなく、かつその随伴が稠密に定義されていない稠密に定義された閉作用素が存在する。
• 任意の $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ に対して、$\mathcal{K}(H)$-加群 $E$ 上の稠密に定義された閉作用素とヒルベルト空間 $E_e = eE$ 上のそれらとの間には、随伴を保つ双対写像が存在する。この写像は $*$-同型 $\Phi$ と写像 $t \mapsto t(1 + t^*t)^{-1/2}$ によって誘導される。