[論文レビュー] ADM analysis and massive gravity

Alexey Golovnev|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ゴーストのない重い重力のための包括的なADMハミルトニアン解析を提供し、dRGTモデルが制約構造においてラプス関数がラグランジュ乗数として機能することによってBoulware–Deserゴーストを回避することを示している。非退化な第二類制約系が存在することを確立し、物理的自由度が6つであることを確認し、行列の平方根表現と補助場を用いることで非線形重い重力における主要な問題を解決している。

ABSTRACT

This is a contribution to the Proceedings of the 7th Mathematical Physics Meeting: Summer School and Conference on Modern Mathematical Physics, held in Belgrade 09 -- 19 September 2012. We give an easily accessible introduction to the ADM decomposition of the curvature components. After that we review the basic problems associated with attempts of constructing a viable massive gravity theory. And finally, we present the metric formulations of ghost-free massive gravity models, and comment on existence problem of the matrix square root.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における曲率分解のためのADM形式への自立的でアクセス可能な紹介を提供すること。
• 特にBoulware–Deserゴースト問題を含め、実現可能な重い重力理論を構築する際の核心的課題を特定・分析すること。
• dRGTモデルが一貫したハミルトニアン制約構造を通じてBoulware–Deserゴーストを回避することを示すこと。
• ゴーストのないポテンシャルにおける行列の平方根の役割を明確にし、その非摂動的存在的条件を確立すること。
• 物理的自由度を保ちつつ明示的な行列の平方根計算を回避する補助場を用いた代替形式を検討すること。

提案手法

• 時空計量の$(3+1)$ADM分解を用い、時間成分と空間成分を分離し、ラプス$N$、シフト$N^i$、空間計量$\gamma_{ij}$を導入する。
• Christoffel記号とリーマン曲率成分を$N$、$N^i$、$\gamma_{ij}$の項で計算し、外的曲率$K_{ij}$を$\partial_t \gamma_{ij}$と空間的共変微分で表現する。
• Hassan–Rosenの証明を適用し、ラプス$N$が空間計量に物理的制約を課すようにシフトを再定義することで、ゴーストモードの存在を防ぐ。
• 補助行列場$\Phi$を導入し、$\Phi^2 = N^2 g^{-1}f$という制約を課えることで、明示的な行列の平方根計算を避けてゴーストのないポテンシャルを導出する。
• 実行列の平方根$\sqrt{g^{-1}f}$の存在と一意性を分析し、固有値とジョルダンブロックを用いた必要十分条件を導出する。
• 制約系が$\gamma_{ij}$上で非退化な第二類制約のペアを形成することを示し、物理的自由度の数が6つに固定されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADM形式をどのように系統的に適用することで、重い重力のハミルトニアン構造を解析できるか？
• RQ2 ゴーストのない重い重力において、行列の平方根$\sqrt{g^{-1}f}$の非摂動的存在的条件は何であるか？
• RQ3 Hassan–Rosenのシフト再定義は、ラプス関数が物理的制約を課すラグランジュ乗数として機能することをどのように保証するか？
• RQ4 補助場形式は、明示的な行列の平方根計算を回避しつつゴースト自由を保つことができるか？
• RQ5 制約構造は、重い重力における有限で非退化な物理的自由度の数を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• dRGTモデルは、ラプス関数がラグランジュ乗数として機能する一貫したハミルトニアン制約構造のおかげで、Boulware–Deserゴーストを回避する。
• Hassan–Rosenのシフト再定義により、$\sqrt{g^{-1}f}$の行列形式が得られ、ラプスの制約的役割が保たれ、制約系が第二類かつ非退化のまま維持される。
• 空間計量$\gamma_{ij}$上の制約系は、非退化な第二類制約のペアを形成し、物理的自由度の数が6つに固定される。
• 行列$g^{-1}f$の負の固有値が偶数サイズのジョルダンブロックを伴う場合、実行列の平方根$\sqrt{g^{-1}f}$の存在が保証される。また、$g$と$f$の正の線形結合の非退化性についても追加条件が必要となる。
• 補助場形式$\Phi^2 = N^2 g^{-1}f$を用いることで、明示的な平方根評価を避けてゴーストのないポテンシャルを構築でき、運動方程式により実平方根の存在が保証される。
• ゴーストが存在しない一方で、強い結合性と因果律の破れ（超光速度伝播）は特定の解において未解決の問題のまま残っているが、モデルは非線形重い重力の有効な候補のままである。