[論文レビュー] Advances in Inequalities of the Schwarz, Gruss and Bessel Type in Inner Product Spaces

Sever S Dragomir|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2003

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 24被引用数 58

ひとこと要約

本論文は、実または複素内積空間におけるシュワルツ、三角不等式、ベッセル不等式の新規の逆不等式を提示する。古典的結果を、ベクトルまたは関数の範囲に関する制約を用いて鋭い境界で拡張している。正規直交族やn重ベクトル列に対するグルス型不等式を導入し、離散フーリエ変換およびメリン変換への応用を含む。ノルム空間および内積空間の技法を用いて積分版および離散版を構築し、直交性や範囲に関する仮定を緩和することで、先行研究を顕著に一般化している。

ABSTRACT

The main aim of this monograph is to survey some recent results obtained by the author related to reverses of the Schwarz, triangle and Bessel inequalities. Some Gruss' type inequalities for orthonormal families of vectors in real or complex inner product spaces are presented as well. Generalizations of the Boas-Bellman, Bombieri, Selberg, Heilbronn and Pecaric inequalities for finite sequences of vectors that are not necessarily orthogonal are also provided. Two extensions of the celebrated Ostrowski's inequalities for sequences or real numbers and the generalization of Wagner's inequality in inner product spaces are pointed out. Finally, some Gruss type inequalities for n-tuples of vectors in inner product spaces and their natural applications for the approximation of the discrete Fourier and Mellin transforms are given as well.

研究の動機と目的

• 内積空間における古典的シュワルツ、三角不等式、ベッセル不等式の鋭い逆不等式を確立し、既知の境界を改善すること。
• 正規直交族や内積空間におけるn重ベクトル列に対するグルス不等式を一般化し、範囲制約下での新たな境界を導入すること。
• 直交性の仮定を緩和することで、ボアス・ベルマン、ボンビエリ、ペチャリッチの古典的不等式を非直交ベクトル列へ拡張すること。
• 測度空間および列を用いた積分と離散の両バージョンを構築し、近似理論への応用を可能にすること。
• 得られた不等式を用いて、離散フーリエ変換およびメリン変換の近似に新たな応用を提供すること。

提案手法

• 内積の範囲とベクトルノルムの境界を用いて、シュワルツ不等式の加法的および2次逆不等式を導出する。
• 等化線形汎関数と積分表現を適用し、不等式を連続的設定に一般化する。
• 正規直交族に対して、内積の実部を制約することでグルス不等式の改良版を導入する。
• コーシー＝シュワルツ不等式およびノルム分解を用いて、内積とその射影との差を評価する。
• 恒等式 ⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩ = ⟨x − ∑⟨x, ei⟩ei, y − ∑⟨y, ei⟩ei⟩ を用い、ベクトルのずれを直交成分に還元する。
• L²(Ω, K)および正規直交関数族を用いて、離散および積分不等式をヒルベルト空間設定に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内積が既知の実数区間内にあるとき、シュワルツ不等式の最も鋭い逆境界は何か？
• RQ2 直交性の仮定をしない正規直交族に対するグルス不等式は、どのように一般化できるか？
• RQ3 ボアス・ベルマンやボンビエリのような古典的不等式は、非直交有限ベクトル列へどのように拡張できるか？
• RQ4 内積空間におけるn重ベクトル列を用いた離散フーリエ変換およびメリン変換の近似誤差の最適境界は何か？
• RQ5 測度論的仮定および点ごとの範囲制約下で、これらの不等式の積分版はどのように振る舞うか？

主な発見

• 加法的逆不等式が確立された：Re⟨(Φe − x), (x − ϕe)⟩ ≥ 0 ならば、‖x‖² ≤ ½(Φ − ϕ)² + |⟨x, e⟩|² が成り立ち、特定の整合性がある場合に等号が成立する。
• 2次逆不等式が導出された：同じ条件下で、ノルムの2乗と射影との差は ½(Φ − ϕ)² − |Re⟨(Φe − x), (x − ϕe)⟩|² で有界である。
• 正規直交族 {ei} およびベクトル x, y に対して、x が Φiei − x および x − ϕiei の実部で有界であるとき、|⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩| ≤ ½(∑|Φi − ϕi|²)¹ᐟ² × (∥y∥² − ∑|⟨y, ei⟩|²)¹ᐟ² が成り立つ。
• 同伴不等式により、x が Φi と ϕi の中点からのずれを組み込むことで、|⟨x, y⟩ − ∑⟨x, ei⟩⟨ei, y⟩| ≤ ½(∑|Φi − ϕi|²)¹ᐟ² × ∥y∥ − (∑|⟨y, ei⟩|²)¹ᐟ² × |⟨x, ei⟩ − ½(Φi + ϕi)|²¹ᐟ² が得られる。
• L²(Ω, K) に対して、f(s) ∈ [ϕh(s), Φh(s)] 几乎 everywhere かつ ∫|h|²dμ = 1 ならば、双線形形式 ∫fḡdμ − ∫f¯hdμ∫hḡdμ の誤差は ½|Φ − ϕ| × (∫|g|²dμ − |∫hḡdμ|²)¹ᐟ² で有界である。
• 実数の場合、Φh(s) ≥ f(s) ≥ ϕh(s) 几乎 everywhere ならば、境界は ½|Φ − ϕ| × (∫|g|²dμ − |∫hḡdμ|²)¹ᐟ² に単純化され、古典的グルス不等式と直接的な関係が示される。