[論文レビュー] Affine Connections on 3-Sasakian Homogeneous Manifolds

Cristina Draper, Miguel Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、次元が7以上の3-サッカーリアン同次多様体上の不変アフィン接続を分類し、平行な非対称ねじれねじれを持つ接続およびアインシュタイン的性質を持つ接続を同定する。非自明なアインシュタイン的でねじれねじれを持つ不変接続を有するのは、唯一7次元の例—S⁷、RP⁷、およびアロフ・ワラッハ空間W⁷₁,₁—に限られ、それらにおいてはすべてのリーブベクトル場を平行化する特徴的な接続が存在する。

ABSTRACT

The space of invariant affine connections on every $3$-Sasakian homogeneous manifold of dimension at least $7$ is described. In particular, the remarkable subspaces of invariant affine metric connections, and the subclass with skew-torsion, are also determined. To this aim, an explicit construction of all $3$-Sasakian homogeneous manifolds is exhibited. The unique $3$-Sasakian homogeneous manifolds which admit nontrivial Einstein with skew-torsion invariant affine connections are those of dimension $7$, that is, $\mathbb{S}^7=\mathrm{Sp} (2)/ \mathrm{Sp(1)}$, $\mathbb{R} P^7=\mathrm{Sp}(2)/ \mathrm{Sp(1)} imes \mathbb{Z}_{2}$ and the Aloff-Wallach space $\mathfrak{W}^{7}_{1,1}= \mathrm{SU}(3)/ \mathrm{U}(1)$. For $\mathbb{S}^7$ and $\mathbb{R} P^7$, the set of such connections is in one to one correspondence with two copies of the conformal linear transformation group of the Euclidean space, while it is strictly bigger for $\mathfrak{W}^{7}_{1,1}$. In addition, the set of invariant connections with totally skew-symmetric torsion whose Ricci tensor is multiple of the metric, with different factors, on the canonical vertical and horizontal distributions, is fully described on every $3$-Sasakian homogeneous manifold. An affine connection satisfying these conditions is distinguished, characterized by parallelizing all the characteristic vector fields associated to the $3$-Sasakian structure. This connection is Einstein with skew-torsion for the $7$-dimensional examples. Several results have also been adapted to the nonnecessarily homogeneous setting. In this case, the above mentioned sets of affine connections are, in general, only proper subsets satisfying the properties.

研究の動機と目的

• 次元≥7の3-サッカーリアン同次多様体上の不変アフィン接続の空間を記述すること。
• 不変計量接続およびねじれを持つ接続の部分空間を同定すること。
• どの3-サッカーリアン多様体が非自明なアインシュタイン的でねじれねじれを持つ不変接続を有するかを特定すること。
• 平行なねじれねじれを持つ接続のリッチテンソルが垂直分布および水平分布を尊重する性質を特徴づけること。
• すべてのリーブベクトル場を平行化し、7次元の例においてアインシュタイン的でねじれねじれを持つ特徴的な接続を構成すること。

提案手法

• コンパクト単純リー代数の表現論を用いて、すべての3-サッカーリアン同次多様体を明示的に構成する。
• 3-サッカーリアン構造に伴う接続空間の水平分布および垂直分布への分解を用いる。
• リーブベクトル場に作用する対称行列B = (b_{rs})を用いて、不変アフィン接続をパラメータ化する。
• リーマン接続∇^gを用い、T = ½∑b_{rs}T^{rs}というねじれ項を加えて∇ = ∇^g + ½Tを定義する。
• ねじれねじれが平行である条件∇T = 0を課すことにより、Bに関する代数的制約が得られる。
• リッチテンソルの固有空間が標準的な垂直および水平分布と一致するという条件を用いて、解を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≥7の3-サッカーリアン同次多様体の中で、非自明な不変アフィン接続がアインシュタイン的でねじれねじれを持つものはどれか？
• RQ2 3-サッカーリアン同次多様体上の平行なねじれねじれを持つ不変アフィン接続の空間の構造は何か？
• RQ3 このような接続のリッチテンソルおよび曲率は、標準的な水平分布および垂直分布とどのように関係するか？
• RQ4 すべての3つのリーブベクトル場を平行化し、アインシュタイン的でねじれねじれを持つ特徴的な不変接続を構成できるか？
• RQ5 このような接続が平行でかつアインシュタイン的であるための、ねじれを定義する行列Bに関する代数的制約は何か？

主な発見

• 非自明なアインシュタイン的でねじれねじれを持つ不変アフィン接続を有するのは、唯一7次元の3-サッカーリアン同次多様体—S⁷、RP⁷、およびアロフ・ワラッハ空間W⁷₁,₁—に限られる。
• S⁷およびRP⁷では、このような接続の集合は、3次元ユークリッド空間の共形線形変換群の2つのコピーと一対一対応する。
• W⁷₁,₁では、S⁷およびRP⁷よりもこのような接続の集合が厳密に大きく、より豊かな構造を持つことが示される。
• すべての3つのリーブベクトル場を平行化し、7次元の例においてアインシュタイン的でねじれねじれを持つ特徴的な不変接続が存在する。
• ねじれ行列BはB = B^t、det(B) = α²、tr(B) = 3ρ/2、B² = ρI₃を満たす必要があり、これによりρ = 4（B = 2I₃）またはρ = 4/9（Bの固有値が2/3, 2/3, -2/3）の解が得られる。
• ρ = 4/9の場合は次元>7では除外され、7次元の多様体でのみ非ゼロのねじれねじれを持つ接続が存在することが確認される。