[論文レビュー] Affine Laumon spaces and integrable systems

Andrei Neguţ|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Bravermanの予想を証明し、$\mathbb{C}^2$ 上の${\mathcal{N}}=2$ ゲージ理論に随伴場を加えた場合のNekrasovの分配関数が、非定常なアフィン三角関数型Calogero-Moserハミルトニアンの変形と関係することを示している。生成関数が、このハミルトニアンの正規化された固有関数に等しく、正規化には$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のWeyl行列式が関与しており、このことにより、これらの空間の等置不変コホモロジーおよび$K$理論を用いた分配関数の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

In this paper we formalize and prove a conjecture of Braverman concerning integrals of the Chern polynomial of the tangent bundle to affine Laumon spaces. This provides the computation of the Nekrasov partition function of N = 2 gauge theory with adjoint matter on C^2 in the Omega background, in the presence of a full surface operator insertion

研究の動機と目的

• $Ω$バックグラウンド下での、${\mathcal{N}}=2$ ゲージ理論に随伴場を加えた場合のNekrasov分配関数に関するBravermanの予想を形式化し、証明すること。
• アフィンLaumon空間上のチャーン多項式の積分の生成関数が、非定常なアフィン三角関数型Calogero-Moserハミルトニアンの固有関数と関係することを示すこと。
• 等置不変コホモロジーにおけるExt作用素と、アフィンLaumon空間のコホモロジー上に作用する$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のインターヴァリアントとの幾何的関係を確立すること。
• 従来のLaumon空間からの結果を、完全なアフィンの場合にまで拡張するために、分配関数の$K$理論的変形を導入すること。

提案手法

• 論文は、アフィンLaumon空間の等置不変コホモロジー$H = \bigoplus_{\mathbf{d} \in \mathbb{N}^n} H^*_T(\mathcal{M}_\mathbf{d})$ 上に作用するExt作用素$A_m$ を構成し、その特徴が生成関数$\tilde{Z}_m$ を与える。
• 作用素$A_m$ の特徴を、非定常ハミルトニアン$\mathcal{H}_m$ の固有関数$Y_m$ に一致させ、Weyl行列式$\delta^{m+1}$ および単項式$x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}$ による正規化を行う。
• 主な技術的ステップは、[7] における非定常可積分系の道具を用いて、コホモロジー上での$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$-インターヴァリアント作用と、$\mathcal{H}_m$ の固有関数構造との関係を確立することである。
• $K$理論的変形$Z_m$ は、$\chi_T(\mathcal{M}_\mathbf{d}, \sum_k (-q^{2m})^k \wedge^k(T^\vee \mathcal{M}_\mathbf{d}))$ により導入され、$\hbar \to 0$ の極限で$\tilde{Z}_m$ に退化する。
• 留数計算と生成関数の恒等式を用いて、$K$理論的構造定数$B_{k_1,\dots,k_t|}$ と固有関数展開との関係を確立し、対数恒等式 (2.62) を証明する。
• 留数計算を$y_s = 0, \infty$ において再帰的に行い、$B_{|k_1,\dots,k_t}$ と$B_{k_1,\dots,k_t|}$ の関係を得る。これにより、指数型生成関数の恒等式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathcal{N}}=2$ ゲージ理論に随伴場を加えた場合のNekrasov分配関数を、アフィンLaumon空間上の積分を用いてどのように幾何的に実現できるか。
• RQ2 生成関数$\tilde{Z}_m$ と非定常アフィン三角関数型Calogero-Moserハミルトニアン$\mathcal{H}_m$ の固有関数との間の明確な関係は何か。
• RQ3 $K$理論的変形$Z_m$ は、等置不変コホモロジーの生成関数$\tilde{Z}_m$ とどのように関係するか。
• RQ4 アフィンLaumon空間のコホモロジー上に作用するExt作用素$A_m$ は、$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のインターヴァリアントと同定できるか。
• RQ5 固有関数$Y_m$ を正規化して$\tilde{Z}_m$ を回復するために、Weyl行列式$\delta$ が果たす役割は何か。

主な発見

• 生成関数$\tilde{Z}_m$ が、非定常ハミルトニアン$\mathcal{H}_m$ の固有関数$Y_m$ に対して$\frac{Y_m}{x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n} \cdot \delta^{m+1}}$ に等しいことが証明された。
• ゲージ理論の等置パラメータ$a_i$ は、固有関数のパラメータ$b_i$ と$b_i - b_{i-1} = a_i - \frac{\sum a_j}{n} + \frac{p}{n}(i - \frac{n+1}{2})$ の関係により関連づけられ、幾何学と表現論を結ぶ。
• $K$理論的分配関数$Z_m$ は、$u_i = e^{\hbar a_i}$、$q = e^{\hbar}$、$\bar{q} = e^{\hbar p}$ とおくと、$\tilde{Z}_m$ の$q$-変形であることが示され、$\hbar \to 0$ の極限でコホモロジーの場合に戻る。
• $y_s = 0, \infty$ における留数計算により、構造定数$B_{k_1,\dots,k_t|}$ の再帰的恒等式が得られ、これにより(2.62)の指数型生成関数の恒等式が導かれる。
• 恒等式$\left(\sum_k g_k x^k\right) A_m = A_m \left(\sum_k g_k x^k\right) \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k} \cdot \frac{q^{(\gamma+mn)k} - q^{-(mn+\gamma)k}}{{\overline{q}}^k - {\overline{q}}^{-k}}\right)$ が、主要な代数的関係として確立された。
• 論文は、Ext作用素$A_m$ が$\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ のインターヴァリアントと可換であり、その特徴が固有関数$Y_m$ に一致することを確認した。これにより、主要定理が証明された。