[논문 리뷰] Affine Yangian action on the Fock space

Ryosuke Kodera|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 아핀 $A_{N-1}^{(1)}$ 퀴버 다양체의 국소화된 등변 homology와 수준 1의 폭스 공간 사이에 명시적인 이somorphism을 수립하여, 양안 대수 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$와 아핀 리 대수 $\rshat{\frak{sl}}_N$가 양쪽 공간 위에서 작용하는 것이 호환됨을 보여준다. 그 결과, 아핀 양안 대수 $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$가 폭스 공간 위에 자연스럽게 작용하며, 기저 대응을 통해 기술된다.

ABSTRACT

The localized equivariant homology of the quiver variety of type $A_{N-1}^{(1)}$ can be identified with the level one Fock space by assigning a normalized torus fixed point basis to certain symmetric functions, Jack($\mathfrak{gl}_N$) symmetric functions introduced by Uglov. We show that this correspondence is compatible with actions of two algebras, the Yangian for $\mathfrak{sl}_N$ and the affine Lie algebra $\hat{\mathfrak{sl}}_N$, on both sides. Consequently we obtain affine Yangian action on the Fock space.

연구 동기 및 목표

• 아핀 $A_{N-1}^{(1)}$ 퀴버 다양체의 국소화된 등변 호몰로지와 수준 1의 폭스 공간 사이의 정규 기저 대응을 수립한다.
• 양안 대수 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$와 아핀 리 대수 $\rshat{\frak{sl}}_N$가 양쪽 공간 위에서 작용하는 것이 호환됨을 보인다.
• 두 대수의 합성 작용이 아핀 양안 대수 $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$의 작용으로 유일하게 확장될 수 있음을 보여준다.
• 정규화된 토르 고정점 기저와 잭($\mathfrak{gl}_N$) 대칭 함수를 사용하여 폭스 공간 위의 아핀 양안 대수 작용에 대한 명시적 공식을 제공한다.

제안 방법

• 토르 고정점에 의해 인덱싱된 기저를 가진 아핀 $A_{N-1}^{(1)}$ 퀴버 다양체의 국소화된 등변 호몰로지를 식별한다.
• 호몰로지 내 정규화된 토르 고정점 기저 원소를 폭스 공간 내 잭($\mathfrak{gl}_N$) 대칭 함수에 노름을 유지하는 방식으로 대응시킨다.
• 양안 대수 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$의 작용 호환성을 확인하기 위해 양쪽에서 드린펠드 생성자에 대한 명시적 공식을 비교한다.
• 매개변수를 특수화하고 $x_{i,0}^\pm$, $h_{i,0}$의 작용을 양쪽 기저에서 일치시켜 $\rshat{\frak{sl}}_N$ 작용의 호환성을 확인한다.
• 퀴버 다양체 작용과 대칭 함수 기저에 관한 바라그노로와 우글로프의 결과를 활용하여 이somorphism을 구성한다.
• 직접 계산을 통해 아핀 양안 대수 내 관계(예: (5.17), (5.18))를 검증하여 기저 대응과의 일관성을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폭스 공간 위에서 양안 대수 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$와 아핀 리 대수 $\rshat{\frak{sl}}_N$의 작용이 동시에 실현되고 확장될 수 있는가?
• RQ2 아핀 $A_{N-1}^{(1)}$ 퀴버 다양체의 국소화된 등변 호몰로지와 폭스 공간 사이에 두 대수적 작용을 모두 존중하는 정규 이somorphism이 존재하는가?
• RQ3 퀴버 다양체 호몰로지의 정규화된 토르 고정점 기저가 폭스 공간 내 잭($\mathfrak{gl}_N$) 대칭 함수와 정확히 대응되는가?
• RQ4 이 이somorphism을 통해 아핀 양안 대수 $Y_{\bar{\rho}}(\rshat{\frak{sl}}_N)$가 폭스 공간 위에 작용으로서 실현될 수 있는가?
• RQ5 정규화된 고정점 기저와 퀴버 다양체 기하학을 기반으로 하여 아핀 양안 대수 작용의 폭스 공간 기저 위에서의 정확한 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 정규화된 토르 고정점 기저 원소를 아핀 $A_{N-1}^{(1)}$ 퀴버 다양체의 국소화된 등변 호몰로지에서 잭($\mathfrak{gl}_N$) 대칭 함수로의 대응은 $\mathbb{C}(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$-선형 등장사상이다.
• 이 대응은 드린펠드 생성자 작용을 양쪽에서 일치시킴으로써 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$-모듈러 이somorphism임을 확인하였다.
• 매개변수 $\varepsilon_1 = -\varepsilon_2$로 특수화하여 $x_{i,0}^\pm$, $h_{i,0}$의 작용을 일치시킴으로써 이 대응은 $\rshat{\frak{sl}}_N$-모듈러 이somorphism이기도 하다.
• 양쪽 공간 위에서 $Y_{\bar{h}}(\frak{sl}_N)$와 $\rshat{\frak{sl}}_N$의 합성 작용은 아핀 양안 대수 $Y_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\rshat{\frak{sl}}_N)$의 작용으로 유일하게 확장된다.
• 폭스 공간 기저 위에서 아핀 양안 대수 작용에 대한 명시적 공식은 정규화된 고정점 기저에서 잭($\mathfrak{gl}_N$) 대칭 함수로의 대응을 통해 주어진다.
• 이 결과는 나가오의 양자 토리oidal 대수 작용에 대한 탈퇴한 유사 결과를 제공하며, 아핀 양안 대수의 경우에 대해 유사한 평행 구조를 수립한다.