[論文レビュー] Algebra of hypersymmetry (extended version) applied to state transformations in strongly relativistic interactions illustrated on an extended form of the Dirac equation

György Darvas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、SU(2)に同型なtau代数に基づく、新しい不変性群であるハイパーシミメトリー（HySy）を導入する。この理論は、スカラー量とベクトル量の両方を含む3+1次元パラメータを持つ物理量（例：等次的場電荷、例えば慣性質量と重力的質量、ローレンツ電荷とクーロン電荷）を統一する。本稿では、拡張されたディラック方程式がローレンツ変換とHySyの併用作用に対して不変であることを示し、基本的相互作用の高エネルギー対称性枠組みを提供する。

ABSTRACT

There are several 3+1 parameter quantities in physics (like vector + scalar potentials, 4-currents, space-time, 4-momentum). In most cases (but space-time), the 3- and the 1-parameter characterised elements of these quantities differ in the field-sources (e.g., inertial and gravitational masses, Lorentz- and Coulomb-type electric charges) associated with them. The members of the field-source pairs appear in the vector- and the scalar potentials, respectively. Sec. 1 and 2 present an algebra what demonstrates that the members of the field-source siblings are subjects of an invariance group that can transform them into each other. (This includes, the conservation of the isotopic field-charge spin, proven in previous publications.) The paper identifies the algebra of that transformation and characterises the group of the invariance, it discusses the properties of this group, shows how they can be classified in the known nomenclature, and why is this pseudo-unitary group isomorphic with the SU(2) group. This algebra is denoted by tau. The invariance group generated by the tau algebra is called hypersymmetry (HySy). The group of HySy had not been described. The defined symmetry group is able to make correspondence between scalars and vector components that appear often coupled in the characterisation of physical states. In accordance with conclusions in previous papers, the second part (Sec. 3 and 4) shows that the equations describing the individual fundamental physical interacions are invariant under the combined application of the Lorentz transformation and the here explored invariance group at high energy approximation (while they are left intact at lower energies). As illustration, the paper presents a simple form for an extended Dirac equation and a set of matrices to describe the combined transformation in QED. Sec. 2.2 shows applicability of this algebra for genetic matrices.

研究の動機と目的

• 等次的場電荷のペア（例：慣性質量と重力的質量、ローレンツ電荷とクーロン電荷）を互いに変換する不変性群を代数的に導出すること。
• この不変性の代数的構造を特定し、それがSU(2)に同型である擬ユニタリ群であることを同定すること、その群はtau（τ）代数として表される。
• 特に量子電磁力学における基本的相互作用が、高エネルギー領域においてローレンツ変換とこの新しいHySy対称性の併用作用に対して不変であることを示すこと。
• ディラック方程式を拡張し、この対称性を組み込み、(SO+(3,1) ⊗ SU(2))変換の下での共変性を示すこと。

提案手法

• 3+1次元パラメータを持つ物理量のスカラー成分とベクトル成分の間の変換を生成する、tau（τ）代数を導出する。
• tau代数によって生成される不変性群がハイパーシミメトリー（HySy）であることを特定し、これがSU(2)に同型であることを証明する。
• 一般化された運動量項と質量項を含む、修正されたディラック方程式を構築し、反対の等次的場電荷を含むが、ローレンツ変換とHySy変換の両方に対して共変性を保つようにする。
• 4×4の変換行列を用いて、場電荷電流における3次元速度成分と等次的場電荷の間の相互作用をモデル化する。
• 群論的解析を用いてHySy群を分類し、素粒子物理学およびゲージ理論における既知の用語体系と関連付ける。
• QEDにおける簡単な拡張ディラック方程式と行列表現を提示し、(SO+(3,1) ⊗ SU(2))の下での不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー量とベクトル量の両方を含む3+1次元パラメータを持つ物理量（例：場電荷）が、統一的な不変性群によって代数的にどのように関連付けられるか。
• RQ2 等次的場電荷のペアを互いに変換する対称性の代数的構造と群論的分類は何か。
• RQ3 tau代数によって生成される不変性群がなぜSU(2)に同型であるのか、そしてこの同型性が物理的方程式にどのように現れるか。
• RQ4 ローレンツ変換と新しいHySy対称性の併用作用が、高エネルギー領域における拡張ディラック方程式の共変性をどのように保っているか。
• RQ5 この対称性が基本的相互作用の統一およびディラック方程式の構造に与える影響は何か。

主な発見

• tau代数は、SU(2)に同型な擬ユニタリ不変性群を生成し、3+1次元物理量のスカラー成分とベクトル成分を互いに変換する。
• 拡張されたディラック方程式は、ローレンツ変換とHySy対称性の併用作用に対して不変であり、元のディラック方程式に存在しない新しい高エネルギー不変性を示している。
• 不変性群HySyは、ハミルトニアンにスカラーとベクトルの場電荷源（例：慣性質量と重力的質量、ローレンツ電荷とクーロン電荷）を結合した際に共変性を回復する。
• この対称性はすべての基本的相互作用に普遍的だが、低エネルギー領域では自然に破れ、高エネルギー領域では破れないまま保たれる。
• 変換行列は4×4であり、3×3の小行列が場電荷電流の速度依存成分に作用し、相対論的力学と整合性を保つ。
• この形式的枠組みは、素粒子物理学にとどまらず、第2.2節で示されるように遺伝子マトリクスの規則性に対しても適用可能である数学的枠組みを提供する。