[論文レビュー] Algebra with indefinite involution and its representation in Krein space

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Oct 2, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子場理論における不定計量空間の出現を、代数的機構としての新たな方法により解明する。具体的には、代数 $\mathcal{A}$ 上で標準的である $\dagger$ による対合を、新たな対合 $*$ に置き換えることで、標準的 $C^*$-代数がクレイン空間表現に変換されることを示す。主な結果として、$({\mathcal{A}},*)$ の共変表現が、新たな対合のもとで自然にクレイン空間表現を生じさせることを示し、非エルミート的だが擬似エルミート的であるハミルトニアンが複素固有値を示す理由を説明する。

ABSTRACT

It is often inevitable to introduce an indefinite-metric space in quantum field theory, for example, which is explained for the sake of the manifestly covariant quantization of the electromagnetic field. We show two more evident mathematical reasons why such indefinite metric appears. The first idea is the replacement of involution on an algebra. For an algebra ${\cal A}$ with an involution $\sdag$ such that a representation of the involutive algebra $({\cal A},\sdag)$ brings an indefinite-metric space, we replace the involution $\sdag$ with a new one * on ${\cal A}$ such that $({\cal A},*)$ is a well-known involutive algebra acting on a representation space with positive definite metric. This explains that non-isomorphic two involutive algebras are transformed each other by the replacement of involution. The second is that a covariant (Hilbert space) representation $({\cal H},π,U)$ of an involutive dynamical system $(({\cal A},*),{\bf Z}_{2},α)$ brings a Krein space representation of the algebra ${\cal A}$ with the replaced involution. For example, we show representations of abnormal CCRs, CARs and pseudo-Cuntz algebras arising from those of standard CCRs, CARs and Cuntz algebras.

研究の動機と目的

• 量子場理論における不定計量空間の数学的起源を明確化すること、特に電磁場の明示的共変的量子化のような文脈を想定する。
• 同一の代数上での対合の置き換えによって、非同型な対合的代数が生じることを示し、見た目には異なる代数的構造を統一的に扱えるようにすること。
• 標準的 $C^*$-代数（例：CCR、CAR、クンツ代数）の表現を、新たな対合 $*$ によってクレイン空間表現（不定計量を伴う）に系統立てて再定式化するフレームワークを確立すること。
• リー模型などのモデルでよく見られる、複素固有値を示すが物理的に意味のあるハミルトニアンが、元の $\dagger$ に関しては自己随伴であるが、新たな対合 $*$ に関しては非自己随伴であることを示し、その理解を可能にすること。

提案手法

• 代数 $\mathcal{A}$ 上に、$(\mathcal{A},\dagger)$ の自己同型 $\alpha$ を用いて、$x^* \equiv \alpha(x^\dagger)$ と定義することで、新たな対合 $*$ を導入する。これにより、元の $\dagger$-対合が新しい $*$-対合に置き換わる。
• 新しい対合 $*$ が、ヒルベルト空間上に正定値計量を持つ標準的 $C^*$-代数 $({\mathcal{A}},*)$ を構成することを示す。
• $($\mathcal{A}$, $*$)、$\mathbb{Z}_2$、$\alpha$ からなる対合的力学系の共変表現 $({\mathcal{H}}, \pi, U)$ を構成する。ここで $\alpha$ は自己同型的自己同型である。
• この共変表現が、$*$-構造から導かれる不定計量をもつヘルミート形式を備えた表現空間に、$({\mathcal{A}}, \dagger)$ のクレイン空間表現を誘導することを証明する。
• 行列解析を用いて、2レベルのハミルトニアン $H|_V = \begin{pmatrix} m_A & -g \\ \bar{g} & m_B \end{pmatrix}$ が不定計量のもとで固有値を計算し、$|m_A - m_B|$ が $2|g|$ に対して相対的にどのように依存するかを示す。
• 新たな対合 $*$ に関しては、同じハミルトニアン $H$ は正定値計量空間上で自己随伴ではないが、スペクトルは変わらず、これにより不定計量が $\dagger$-自己随伴性を実現するために不可欠であることが説明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的 $\dagger$-対合を備えた代数は、正定値計量の表現を生じるが、どのようにして不定計量の表現を生じる代数に変換できるか？
• RQ2 対合的自己同型 $\alpha$ が、$C^*$-代数を新たな対合 $*$ に関してクレイン空間表現に変換する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 リー模型などの特定の量子場理論モデルにおけるハミルトニアンが、物理的に意味を持つにもかかわらず複素固有値を示すのはなぜか？
• RQ4 対合 $\dagger \to *$ の置き換えが、場の理論的モデルにおける実固有値と複素固有値の共存をどのように説明できるか？
• RQ5 CCR、CAR、クンツ代数の標準的表現を、対合の置き換えによって系統的にクレイン空間表現として再解釈できるか？

主な発見

• $|m_A - m_B| > 2|g|$ のとき、ハミルトニアンは2つの異なる実固有値を持ち、そのうちの1つは不定計量において負のノルムを持つ固有ベクトルに対応し、クレイン空間構造の存在を裏付ける。
• $|m_A - m_B| = 2|g|$ のとき、ハミルトニアンは1つの実固有値を持ち、それは不定計量において中性（ノルムゼロ）の固有ベクトルに対応し、不定計量における退化状態を示す。
• $|m_A - m_B| < 2|g|$ のとき、ハミルトニアンは2つの非実固有値を持ち、これは、演算子が $\dagger$-自己随伴であっても、不定計量のもとでスペクトルが複素数に変化しうることを示している。
• 2次元部分空間 $V = \text{Lin}\langle a_A^\dagger\Omega, a_B^\dagger\Omega \rangle$ 上でのハミルトニアンの行列表現は $H|_V = \begin{pmatrix} m_A & -g \\ \bar{g} & m_B \end{pmatrix}$ であり、計量が不定である場合には、標準的 $\dagger$-構造のもとでエルミートではない。
• $\alpha(a_B) = -a_B$ を用いて $x^* \equiv \alpha(x^\dagger)$ で定義される新たな対合 $*$ に関しては、同じハミルトニアン $H$ は正定値計量空間上で自己随伴ではないが、スペクトルは変わらず、不定計量が $\dagger$-自己随伴性を実現するために不可欠であり、$*$ が標準的 $C^*$-構造を回復することを示している。
• この構成により、異常なCCR、CAR、および擬似クンツ代数が、新たな対合 $*$ における標準的CCR、CAR、クンツ代数の表現として生じることを示し、不定計量理論の統一的代数的枠組みを提供している。