[論文レビュー] Algebraic approach to quantum gravity II: noncommutative spacetime

Shahn Majid|ArXiv.org|Apr 19, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非可換時空の双交叉量子群モデルを提案し、[t,x_i] = i\lambda x_i の交換関係を有することで、次世代の古典的量子重力の幾何的枠組みを提供する。可変光速度の予測を導出し、有限のブーストによって無限の負エネルギーに至ることで、グローバル Lorentz 不変性の破綻を示し、プランクスケール補正を持つ、物性的実験で検証可能なモデルを提供する。

ABSTRACT

We provide a self-contained introduction to the quantum group approach to noncommutative geometry as the next-to-classical effective geometry that might be expected from any successful quantum gravity theory. We focus particularly on a thorough account of the bicrossproduct model noncommutative spacetimes of the form [t,x_i]=i λx_i and the correct formulation of predictions for it including a variable speed of light. We also study global issues in the Poincaré group in the model with the 2D case as illustration. We show that any off-shell momentum can be boosted to infinite negative energy by a finite Lorentz transformaton.

研究の動機と目的

• 量子群に基づく非可換時空モデルを、量子重力の次世代古典的極限として開発すること。
• 双交叉モデルと [t,x_i] = i\lambda x_i を用いて、可変光速度という物性的実験可能な予測を提供すること。
• 特に有限ブーストにおける Lorentz 不変性の破綻を含む、Poincaré 量子群におけるグローバル問題を解決すること。
• 非可換作用と運動量空間における平面波を再現する写像 \phi を通じた古典的対応を確立すること。
• 微分計算と対称性の整合性を保つために、余剰次元と異常性が果たす役割を調査すること。

提案手法

• 双交叉量子群 U(so_{3,1}){\triangleright\!\!\blacktriangleleft}\mathbb{C}[\mathbb{R}^{3}{>\!\!\triangleleft}\mathbb{R}] を用いて、[t,x_i] = i\lambda x_i を有する非可換時空を定義する。
• 非可換微分幾何学を適用し、\bullet-積と偏導関数を用いて作用と平面波解を導出する。
• 非可換運動量空間と古典的運動量空間を結ぶ古典化写像 \phi(\psi_{\vec{k}}(x)) = e^{i p^\mu X_\mu} を導入し、p^0 = \cos(\lambda|\vec{k}|)、p^i = \frac{\sin(\lambda|\vec{k}|)}{\lambda|\vec{k}|}k^i とする。
• 2次元の場合に SO_{2,1} を用いてグローバル Lorentz 変換性質を解析し、有限ブーストが無限の負エネルギーに至ることを示す。
• バインドド群理論と転移変換を用いて、\alpha\delta - q^2\gamma\beta = 1 を満たす q-ミンコフスキー空間 \mathbb{C}_q[\mathbb{R}^{3,1}] と自己双対性 B_q[SL_2] 構造を構成する。
• 翻訳不変性の異常性が余剰次元を要求し、x_0 を用いて [x_0, dx_i] = i\frac{\lambda^2}{\mu}dx_i とモデル化し、\lambda \to 0 の極限でシュレーディンガー方程式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交換関係 [t,x_i] = i\lambda x_i を有する非可換時空を、量子群対称性として一貫して定式化し、主要な物理的原則を保つ方法は何か？
• RQ2 Poincaré 量子群の運動量空間への非線形作用が及えるグローバルな影響、特に Lorentz 不変性に関しては何か？
• RQ3 このモデルは可変光速度を予測できるか？ また、GLAST のような現在の天体物理学的装置で検証可能か？
• RQ4 微分計算における異常性（例：不変でない \partial^0）が余剰次元を必要とし、その物理的解釈は何か？
• RQ5 q-変形ミンコフスキー空間とその自己双対構造は、量子重力の物性的記述の文脈で果たす役割は何か？

主な発見

• モデル [t,x_i] = i\lambda x_i は、異なるエネルギーの光子が異なる速度で伝播する可変光速度を導出し、ガンマ線バーストの分析を通じて検証可能である。
• 2次元の場合、有限の Lorentz ブーストによって任意の非殻運動量が無限の負エネルギーに変換可能であり、標準的な Lorentz 不変性の破綻を示している。
• 古典化写像 \phi は、非可換平面波と作用を再現し、p^0 = \cos(\lambda|\vec{k}|) を有する古典的運動量空間へと結びつける。
• 微分計算における翻訳不変性の異常性は、余剰次元 x_0 の導入を強制し、これはユークリッド化された 3次元量子重力における再生化群フローの方向として作用する。
• \alpha\delta - q^2\gamma\beta = 1 を満たす q-ミンコフスキー空間 \mathbb{C}_q[\mathbb{R}^{3,1}] はバインドド群として自己双対的であり、su_2 \times u(1) への双対古典的極限を明らかにする。
• \lambda \to 0 の極限において、x_0 を含む拡張モデルは、質量 m = 1/\mu の粒子のシュレーディンガー方程式を導き、平面波解は |\vec{k}| < \pi/(2\lambda) で有界である。