[論文レビュー] Algebraic cobordism

Marc Levine|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 144

ひとこと要約

本稿では、特性が0の体上のスキームのカテゴリに対して、普遍的な向き付きBorel-Mooreホモロジー理論、代数的コボルドィズム $\Omega_*$ を提示し、それがLazard環値をとるような理論の普遍的例として確立されている。この構成は形式的群法則と、ラインバンドルを伴うサイクルの対称モノイダル圏を用い、チャウ群やK理論を一般化する理論をもたらし、モチーフホモトピー理論における $\mathbb{P}^1$-スペクトル $MGL$ との予想される関係を示唆している。

ABSTRACT

Together with F. Morel, we have constructed in \cite{CR, Cobord1, Cobord2} a theory of {\em algebraic cobordism}, an algebro-geometric version of the topological theory of complex cobordism. In this paper, we give a survey of the construction and main results of this theory; in the final section, we propose a candidate for a theory of higher algebraic cobordism, which hopefully agrees with the cohomology theory represented by the $¶^1$-spectrum $MGL$ in the Morel-Voevodsky stable homotopy category.

研究の動機と目的

• 特性が0の体上の分離的有限型スキームのカテゴリにおける普遍的向き付きBorel-Mooreホモロジー理論を構成すること。
• 代数的コボルドィズム $\Omega_*$ が、Lazard環値をとるような理論の普遍的例として確立されること。
• 射影バンドルとチャーン類を用いて、向き付きコホモロジー理論の形式的群法則構造を代数的幾何に一般化すること。
• 対称モノイダル圏の逆系とホモトピー極限を用いた、高次代数的コボルドィズムの候補を提示すること。
• 理論がモチーフホモトピー理論と関係することを示唆し、結果として得られる空間が $\mathbb{P}^1$-スペクトル $MGL$ を表すと予想すること。

提案手法

• ラインバンドルを伴うサイクルの対称モノイダル圏 $\widetilde{\Omega}^{(n)}(X)$ を、全次数でグレーディングされた形で構成し、チャーン類変換を備える。
• Lazard環 $\mathbb{L}^{(n)}_*$ 上の形式的群法則 $F_{\mathbb{L}^{(n)}}$ に相当する関係を、ラインバンドルのテンソル積に関する可換性と結合則を含めて課す。
• $\Omega_{m,r}^{(n)}(X)$ を、分類空間 $B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$ の $r$-番目のホモトピー群として定義し、$n$ に関して逆系をなす。
• 逆極限 $\Omega_{m,r}(X) = \varprojlim_n \Omega_{m,r}^{(n)}(X)$ を取ることで、高次代数的コボルドィズム群を定義する。
• Lazard環の普遍性を用いて、任意の向き付きコホモロジー理論が一意な環準同型を介して $\Omega_*$ を通じて因数分解されることを保証する。
• 逆系が安定化し、ホモトピー極限 $B\widetilde{\Omega}_m(X) = \mathop{\rm holim}_n B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$ が $MGL$ を表すスペクトルを定義すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性が0の体上のスキームにおける普遍的向き付きBorel-Mooreホモロジー理論とは何か、そして形式的群法則とどのように関係するか？
• RQ2 チャウ群とK理論を普遍的性質を用いて一般化する代数的コボルドィズム理論をどのように構成できるか？
• RQ3 逆系の対称モノイダル圏とホモトピー極限を用いて、高次代数的コボルドィズムを定義できるか？
• RQ4 $\Omega_{m,r}(X)$ を定義する際に用いられる逆系は $n$ に関して安定化するか？また、$r=0$ のとき $\Omega_m(X)$ を回復するか？
• RQ5 結果として得られるスペクトル $B\widetilde{\Omega}_m(X)$ は、モアル＝ヴェドフスキーの安定ホモトピー圏における $\mathbb{P}^1$-スペクトル $MGL$ と同値か？

主な発見

• 代数的コボルドィズム $\Omega_*$ は、特性が0の体 $k$ に対する $\operatorname{\mathbf{Sch}}_k$ 上の普遍的向き付きBorel-Mooreホモロジー理論である。
• $\Omega_*$ を滑らかで準射影的スキームに制限すると、Lazard環 $\mathbb{L}^*$ 値をとる普遍的向き付きコホモロジー理論 $\Omega^*$ が得られる。
• 理論は射影バンドルの公式とホモトピー性質を満たし、その形式的群法則は普遍的であり、Lazard環によって与えられる。
• 逆極限 $\varprojlim_n \Omega_{m,r}^{(n)}(X)$ を用いた $\Omega_{m,r}(X)$ の構成は、$r=0$ のとき $\Omega_m(X)$ を回復する。具体的には、同型 $\Omega_{m,0}(X) \cong \Omega_m(X)$ が成り立つ。
• 理論は自然にLazard環 $\mathbb{L}^{(n)}$ の作用を備え、チャーン類変換は形式的群法則構造と整合的である。
• 本稿では、$\Omega_{m,r}(X)$ を定義する逆系がすべての $r$ に対して安定化すると予想され、ホモトピー極限 $B\widetilde{\Omega}_m(X) = \mathop{\rm holim}_n B\widetilde{\Omega}_m^{(n)}(X)$ が $\mathbb{P}^1$-スペクトル $MGL$ を表すスペクトルを定義するとされている。