[論文レビュー] Algebraic distance for anisotropic diffusion problems: multilevel results

Achi Brandt, James Brannick+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非定常拡散問題における代数多重グリッド（AMG）法の接続強度を定義するため、緩和されたテストベクトルの最小二乗最小化に基づく代数的距離測度を導入する。この手法により、パrameterフリーのロバストな粗化と補間が可能となり、グリッドに沿わない非等方的性質を適応的に捉えることができ、調整なしに多様な非等方的配向においてスケーラブルな多重グリッド収束を達成する。

ABSTRACT

In this paper we motivate, discuss the implementation and present the resulting numerics for a new definition of strength of connection which is based on the notion of algebraic distance. This algebraic distance measure, combined with compatible relaxation, is used to choose suitable coarse grids and accurate interpolation operators for algebraic multigrid algorithms. The main tool of the proposed measure is the least squares functional defined using a set of relaxed test vectors. The motivating application is the anisotropic diffusion problem, in particular problems with non-grid aligned anisotropy. We demonstrate numerically that the measure yields a robust technique for determining strength of connectivity among variables, for both two-grid and multigrid solvers. %We illustrate the use of the measure to construct, in addition, an adaptive aggregation form of interpolation for the targeted anisotropic problems. %Our approach is not a two-level approach -- we provide preliminary results that show its extendability to multigrid. The proposed algebraic distance measure can also be used in any other coarsening procedure, assuming a rich enough set of the near-kernel components of the matrix for the targeted system is known or computed.

研究の動機と目的

• M行列のヒューリスティクスに依存する古典的AMGが、グリッドに沿わない非等方的拡散問題で失敗することの原因を解消する。
• 行列の符号構造やグリッドの整合性に依存しないロバストな接続強度測定を確立する。
• パrameter調整なしに、非等方的問題における効果的な粗格子選択と高精度な補間を可能にする。
• 最小二乗補間と適合性のリラクゼーションを用いて、定数係数非等方的拡散問題においてスケーラブルな多重グリッド収束を達成する。
• 近似カーネル成分が既知または計算可能である場合に、一般の粗化手順をサポートするフレームワークを拡張する。

提案手法

• 緩和されたテストベクトルの集合上で最小二乗汎関数を定義し、変動する接続性を測定する代数的距離を定義する。
• 代数的距離を用いて、粗格子変数および補間ステンシルの選択のための接続強度グラフを構築する。
• 代数的距離と適合性リラクゼーションを組み合わせ、接続強度定義の妥当性を検証・精緻化する。
• 代数的距離測定と緩和されたベクトルを用いて、最小二乗補間作用素を構築する。
• 複数回のスムージングステップを含むWサイクルのブートストラップ設定を用い、補間および粗化のための緩和およびブートストラップベクトルを計算する。
• 柔軟なCGを用いた非線形AMLICプリコンディショニングを適用し、解法段階での収束を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小二乗最小化に基づく代数的距離は、非等方的拡散問題におけるロバストな接続強度測定を提供できるか？
• RQ2 提案手法は、パrameter調整なしに、グリッドに沿わない非等方的拡散問題においてスケーラブルな収束を達成できるか？
• RQ3 細格子離散化が非等方的配向とずれている場合、この手法はどのように動作するか？
• RQ4 適合性リラクゼーションと最小二乗補間が、挑戦的な非等方的状況において効果的な粗格子近似を保証できるか？
• RQ5 可変係数非等方的問題において、補間の能力（c）が収束のスケーラビリティに与える影響は何か？

主な発見

• 代数的距離測定は、グリッドに沿わない非等方的拡散問題における強い接続を的確に特定でき、効果的な粗格子選択を可能にする。
• ε = 0.1 の定数係数非等方的拡散問題では、すべての非等方的配向で4〜7サイクルの多重グリッド収束が達成され、1サイクルあたり1.4〜2.0回の反復で収束する。
• 細格子離散化がずれている場合（α = −π/4）でも、この手法は真の非等方的配向に適応する補間を構築できる。
• ε = 0.0001 の場合でも、5〜9回の反復で収束を維持し、高非等方的状態においてもロバストであることが示された。
• c = 2 の最小二乗補間を用いることで、定数係数問題においてほぼ最適なマルチレベル性能が達成される。
• 問題サイズにやや依存する反復回数を示しており、可変係数ケースでは完全なスケーラビリティを達成するには、より高い能力（c > 2）の補間が必要である可能性を示唆している。