[論文レビュー] Algebraic elliptic cohomology theory and flops, I

Marc Levine, Yaping Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モチビックホモトピー論を用いて任意の完全体上に代数的楕円コホモロジー理論を構成し、有理係数を含む代数的コボルディズム環において、Kricheverの楕円的特徴類の核が、古典的フロップの差の生成するイデアルに正確に一致することを証明する。この結果は、任意の体へのTotaroの複素解析的定理の一般化であり、フロップと整合する双有理不変量が楕円的特徴類によって完全に捉えられていることを確認する。

ABSTRACT

We define the algebraic elliptic cohomology theory coming from Krichever's elliptic genus as an oriented cohomology theory on smooth varieties over an arbitrary perfect field. We show that in the algebraic cobordism ring with rational coefficients, the ideal generated by differences of classical flops coincides with the kernel of Krichever's elliptic genus. This generalizes a theorem of B. Totaro in the complex analytic setting.

研究の動機と目的

• 任意の完全体上での滑らかな代数的多様体の上で、ある指向付きコホモロジー理論として代数的楕円コホモロジー理論を構成すること。
• 複素コボルディズムにおける楕円的特徴類の核に関するTotaroの結果を、任意の特性を持つ体上の代数的設定に拡張すること。
• 有理係数代数的コボルディズム環における、古典的フロップの差の生成するイデアルが、Kricheverの楕円的特徴類の核に正確に一致することを示すこと。
• モチビックホモトピー論とLandweber正確性を用いて、このコホモロジー理論の代表可能性を確立すること。
• 楕円的特徴類の剛性および双有理不変性の性質を、完全体上の代数幾何学に一般化すること。

提案手法

• 有理係数を含む普遍的な指向付きコホモロジー理論を、代数的コボルディズムスpectrum MGL を用いてモチビックホモトピー論によって構成する。
• 代数的楕円コホモロジー理論を、MGL* ⊗_Laz Ell[1/2p] として定義する。ここで、Ell[1/2p] は係数環のLandweber正確拡張である。
• Levine-Pandharipandeの二重点コボルディズム構成を用いて、代数的コボルディズム環における二つのフロップの差を明示的に記述する。
• Kricheverの楕円的特徴類の剛性およびフロップと整合する性質を活用し、特徴類写像の核を同定する。
• 正の特性の場合に対処するため、de Jongの変形とGabberの改良を用い、係数環において可逆な次数を持つℓ以外の素数の変形の存在を保証する。
• 安定モチビックホモトピー圏 SH(k) と、有限エタール被覆の自己準同型の性質を用いて、必要な双有理不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全体上の代数的コボルディズムの文脈において、Kricheverの楕円的特徴類の代数的類似は何か？
• RQ2 代数的コボルディズムにおける楕円的特徴類の核は、フロップのような幾何的操作を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 有理係数代数的コボルディズム環における、古典的フロップの差の生成するイデアルは、任意の完全体上での楕円的特徴類の核と一致するか？
• RQ4 楕円的特徴類の剛性は、モチビックホモトピー論を用いて代数的に実現され、証明可能か？
• RQ5 Lazard環上のLandweber正確性を満たす、代数的楕円コホモロジーを表すモチビック指向付きコホモロジー理論が存在するか？

主な発見

• MGL* ⊗_Laz Ell[1/2p] として定義される代数的楕円コホモロジー理論は、任意の完全体上での滑らかな多様体上で、モチビック指向付きコホモロジー理論として代表可能である。
• 有理係数代数的コボルディズム環 MGL*Q(k) において、楕円的特徴類 φQ の核は、正確に古典的フロップの差の生成するイデアルに一致する。
• 楕円的特徴類写像 φQ: MGL*Q(k) → Ell*Q(k) の像は、多項式環 Q[a1,a2,a3,a4] に一致する。
• 証明では二重点コボルディズムを用いて、フロップ差の明示的な代数的記述がなされ、Totaroの複素解析的証明で用いられた位相的構成が置き換えられている。
• Gabberの改良により、係数環において可逆な次数を持つde Jongの変形を用いることで、正の特性の場合にも結果が成り立つ。
• 楕円的特徴類がフロップ差で消えることは、GW(k)におけるべき等元の性質を用いた、安定モチビックホモトピー圏 SH(k) 内の自己準同型の性質を用いて、主要補題の証明がなされている。