[論文レビュー] Algebraic Quantum Field Theory

Hans Halvorson, Michael Mueger|ArXiv.org|Feb 14, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、非局所性、粒子解釈、不等価な表現といった基礎的問題に重点を置き、代数的量子場理論（AQFT）の包括的サーベイを提供する。抽象的双対性理論を用いた対称的テンソル ∗-圏のための新しい自己完結的証明を提示し、物理的表現の圏から場とゲージ群がどのように導かれるかを示している。

ABSTRACT

Algebraic quantum field theory provides a general, mathematically precise description of the structure of quantum field theories, and then draws out consequences of this structure by means of various mathematical tools -- the theory of operator algebras, category theory, etc.. Given the rigor and generality of AQFT, it is a particularly apt tool for studying the foundations of QFT. This paper is a survey of AQFT, with an orientation towards foundational topics. In addition to covering the basics of the theory, we discuss issues related to nonlocality, the particle concept, the field concept, and inequivalent representations. We also provide a detailed account of the analysis of superselection rules by S. Doplicher, R. Haag, and J. E. Roberts (DHR); and we give an alternative proof of Doplicher and Roberts' reconstruction of fields and gauge group from the category of physical representations of the observable algebra. The latter is based on unpublished ideas due to Roberts and the abstract duality theorem for symmetric tensor *-categories, a self-contained proof of which is given in the appendix.

研究の動機と目的

• 演算子代数と圏論を用いて、量子場理論の厳密で数学的に正確な枠組みを提供すること。
• 粒子、場、およびスーパー選別規則の性質といったQFTにおける基礎的問題を調査すること。
• 観測可能代数、物理的表現、およびゲージ群や場の出現との関係を明確にすること。
• 対称的テンソル ∗-圏における抽象的双対性を用いたDoplicher-Roberts再構成定理の新しい証明を提示すること。
• 2+1次元時空におけるパラ統計およびブレード群統計の物理的意味を分析すること。

提案手法

• 時空領域内の局所的観測可能量を形式化するためにC*-代数およびvon Neumann代数を用いる。
• 局所的代数的構造を分析するために、モジュラー理論およびvon Neumann代数の型分類を適用する。
• 真空のもつれと非局所性を調査するために、Reeh-Schlieder定理およびファンネル性質を用いる。
• スーパー選別セクターを分類するために、局所的で輸送可能な自己準同型の圏∆を導入する。
• 付録で証明された対称的テンソル ∗-圏のための抽象的双対定理を用いて、観測可能表現の圏から場代数を再構成する。
• 図式的記法およびTannaka双対性を用いて、ゲージ群と表現圏の間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スーパー選別セクターは観測可能代数からどのように生じるのか。その統計的性質は何か。
• RQ2 観測可能代数の物理的表現の圏から、場代数およびゲージ群を再構成できるか。
• RQ3 2+1次元において、パラ統計およびブレード群統計の物理的意味は何か。
• RQ4 不等価な表現は粒子概念および自発的対称性の破れとどのように関係するか。
• RQ5 場は物理的実体と見なせるのか、それとも単なる余分な構造にすぎないのか。

主な発見

• Doplicher-Roberts再構成定理は、対称的テンソル ∗-圏のための抽象的双対定理を用いて証明され、場ネットおよびゲージ群が物理的表現の圏によって一意に決定されることを確立している。
• 局所的自己準同型の圏における既約対象がパラ統計を示すのは、対応するゲージ群が非アーベルであるときであり、かつそのときに限る。これは、パラ粒子が存在しないという懸念を解消している。
• 2次元空間において、ブレード群統計は置換統計を一般化しており、自己準同型のテンソル圏におけるねじれ構造から自然にブレード群Bnの表現の圏が生じる。
• 積対象ρ⊗⋯⊗ρは、ねじれ作用素ερ,ρによって誘導されたBnのユニタリ表現を担う。これは、ブレード統計が代数的構造の自然な帰結であることを示している。
• ブレード群の無限個の既約表現の存在は、群表現への「豊富性の原理」を適用すると、物理的粒子種の非可算な増殖が生じることを示しており、基礎的仮定に挑戦する。
• 本稿は、場が根本的ではなく、観測可能代数とその表現圏から生じる余分な構造であることを確立しており、QFTにおける代数的帝国主義を支持している。