[論文レビュー] Algebraic surfaces with quotient singularities - including some discussion on automorphisms and fundamental groups

JongHae Keum, D.-Q. Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿は商特異点をもつ代数的表面を対象とし、その位相的性質、基本群、自己同型群の研究を行う。本稿では、対数終票ファノ表面の滑らかでない部分が有限基本群をもつことを確立し、ピカール数1のゴレンシュタイン・デル・ペッツォ表面の自己同型群を分類し、その群が有限であるか、あるいはすべての素数 $ p \geq 5 $ に対して $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ を含むことを示している。

ABSTRACT

We survey some recent progress in the study of algebraic varieties X with log terminal singularities, especially, the uni-ruledness of the smooth locus X^0 of X, the fundamental group of X^0 and the automorphisms group on (smooth or singular) X when dim X = 2. The full automorphism groups of a few interesting types of K3 surfaces are described, mainly by Keum-Kondo. We conjecture that when X is Q-Fano then X^0 has a finite fundamental group, which had been proved if either dim X < 3 or the Fano index is bigger than dim X - 2. We also conjecture that when X is a log Enriques (e.g. a normal K3 or a normal Enriques) surface then either pi_1(X^0) is finite or X has an abelian surface as its quasi-etale cover, which has been proved by Catanese-Keum-Oguiso under some extra conditions.

研究の動機と目的

• ピカール数1の商特異点をもつゴレンシュタイン・デル・ペッツォ表面の自己同型群を分類すること。
• 特にファノ面およびエヌリケス面の文脈において、対数終票表面の滑らかでない部分の基本群を調査すること。
• 滑らかな有理面の自己同型に関する既知の結果を、特に商特異点をもつ場合に一般化すること。
• 対数不変量を用いて、一般型の非完全代数的表面の位相的および幾何的制約を探索すること。
• 特異点、標準的除数、および表面への自己同型作用の間の関係を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 商特異点をもつ表面の最小解消を用い、例外的除算とその canonical 除算への寄与を分析する。公式 $ f^*K_Y = K_{\tilde{Y}} + D^* $ を用い、ここで $ D^* $ は $ 0 \leq d_i < 1 $ を満たす $ \mathbb{Q} $-除算である。
• 表面の双有理型を分類するために、単純な正則交差を持つ滑らかな完備化を用いた、対数的コルダイラ次元 $ \kappa(Y^0) $ を適用する。
• 対数終票およびデュ・ヴァル特異点の理論を用い、次元2における商特異点が対数終票特異点に等価であることを示す。
• レフシェッツ超平面切断定理およびバン・カンペンの定理を用い、対数終票ファノ表面の滑らかでない部分の基本群の有限性を証明する。
• K3表面およびリーク・ラティスの幾何を用いて自己同型群を分析し、特にピカール格子が根部分格子に直交する場合を扱う。
• 正標数における超特異K3表面のトーリッチ型定理を用い、ピカール格子作用を介して自己同型群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカール数1の商特異点をもつゴレンシュタイン・デル・ペッツォ表面の自己同型群の構造は何か？
• RQ2 対数終票ファノ表面の滑らかでない部分は有限基本群をもつか？
• RQ3 ピカール数1のゴレンシュタイン・デル・ペッツォ表面が、すべての素数 $ p \geq 5 $ に対して $ \mathbb{Z}/(p) $-作用をもつのはどのような条件下か？
• RQ4 対数不変量 $ c_1^2 $, $ c_2 $, および $ p_g $ は、一般型の非完全な表面の存在にどのような制約を課えるか？
• RQ5 K3表面のピカール格子とその自己同型群の構造との関係は何か？

主な発見

• 対数終票ファノ表面の滑らかでない部分は、有限基本群をもつ。これは3通りの独立した証明（レフシェッツ理論、有理的連結性、幾何的技法）により確認された。
• ピカール数1のゴレンシュタイン・デル・ペッツォ表面 $ Y $ に対して、$ \text{Aut}(Y) $ は有限（その位数は $ 2^a 3^b $ を割り切る、$ a+b \leq 7 $）であるか、あるいはすべての素数 $ p \geq 5 $ に対して $ \mathbb{Z}/(p) $ を含み、その場合 $ |\text{Aut}(Y)| = \infty $ である。
• このような表面の自己同型群が有限であるための必要十分条件は、$ \text{Sing}(Y) = A_7 $ または $ K_Y^2 = 1 $ かつ $ |-K_Y| $ に3つ以上の特異点をもつメンバーが存在することである。
• 素数 $ p \geq 5 $ に対して、$ Y $ に同値でない $ \mathbb{Z}/(p) $-作用は高々 $ p+1 $ 個存在し、これらは [Z9] で完全に分類されている。
• 滑らかな有理面で次数 $ \leq 5 $ の場合、$ |\text{Aut}(X)| $ は $ 5! $ を割り切るが、特異なデル・ペッツォ表面ではこの境界は成り立たず、自己同型群が無限大である可能性がある。
• 格子 $ \Lambda \oplus U $ におけるピカール格子の直交補空間は、ランク10の部分格子で、負定値根格子 $ A_5 + A_1^5 $ を含み、その指数は2である。この構造は自己同型の分類に役立つ。