[論文レビュー] Algorithmic market making for options

Bastien Baldacci, Philippe Bergault+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ボラティリティに依存する近似を用いて、高次元の確率的最適制御問題を低次元の関数方程式に還元することにより、オプションにおけるアルゴリズム的市場メイキングの枠組みを構築する。ヘストンのような確率的ボラティリティモデルを用い、オイラー法と補間を組み合わせた数値的手法により問題を解くことで、大規模なオプションポジションに対する実行可能な動的ヘッジおよび価格設定戦略の実現が可能になる。

ABSTRACT

In this article, we tackle the problem of a market maker in charge of a book of options on a single liquid underlying asset. By using an approximation of the portfolio in terms of its vega, we show that the seemingly high-dimensional stochastic optimal control problem of an option market maker is in fact tractable. More precisely, when volatility is modeled using a classical stochastic volatility model -- e.g. the Heston model -- the problem faced by an option market maker is characterized by a low-dimensional functional equation that can be solved numerically using a Euler scheme along with interpolation techniques, even for large portfolios. In order to illustrate our findings, numerical examples are provided.

研究の動機と目的

• 確率的ボラティリティを伴う高次元設定における動的オプション市場メイキングの課題に取り組む。
• オプション市場メイカーが直面する確率的最適制御問題の複雑さを低減する。
• 大規模なオプションポジションに対する動的価格設定と在庫管理を可能にする、数値的に扱いやすい枠組みを構築する。
• 従来、単一資産・パール・ヴァナイル金融商品に限られていたアルゴリズム的市場メイキングモデルを、確率的ボラティリティを伴うオプションへと拡張する。
• 経済的直観（リスクと在庫管理）を保ちつつ、実用的でスケーラブルな解決策を、数値的手法を用いて提供する。

提案手法

• 著者らは、オプションポジションのリスク露出をそのベガ感応度を用いて近似し、高次元の制御問題を低次元の問題に変換する。
• 時間的に変化するボラティリティリスクを捉えるために、ヘストンモデルのような古典的な確率的ボラティリティ過程を採用する。
• 得られるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式は線形であり、フェインマン＝カック表現を備えており、モンテカルロ法による数値的解法が可能になる。
• オイラー法に基づく数値スキームをHJB方程式に適用し、状態空間の効率的取り扱いのために補間技術を組み合わせる。
• 効用最大化と市場インパクトに基づく強度関数を有するマークド点過程を用いて、動的注文フローをモデル化する。
• ベガ近似の1次までで価格とリスク露出を計算し、ベガ露出の変化に応じたリアルタイムでのBid-Askスプレッドの動的調整が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オプション市場メイカーの高次元的確率的最適制御問題を、計算的に扱える形にどのようにして簡略化できるか？
• RQ2 確率的ボラティリティは、オプション市場メイキングにおける最適価格設定と在庫管理戦略にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ベガに基づく近似は、精度を損なわせることなく、制御問題の次元を効果的に低減できるか？
• RQ4 動的注文フローと市場インパクトを、連続時間モデルにおけるオプションのアルゴリズム的市場メイキングにどのように統合できるか？
• RQ5 大規模なポートフォリオにおいて、確率的ボラティリティ下で得られるHJB方程式を、どのように効率的に数値的に解けるか？

主な発見

• ベガに基づく近似を用いることで、オプション市場メイキングの高次元的制御問題が、低次元の関数方程式に効果的に還元される。
• ヘストンモデル下で導かれたHJB方程式は線形であり、フェインマン＝カック表現を備えており、モンテカルロ法による数値的解法が可能になる。
• オイラー法と補間を組み合わせた数値的解法が実装されており、大規模なポートフォリオに対しても実行可能である。
• ベガ露出の変化に応じた動的価格設定が可能となり、リスク管理と収益性の両方が向上する。
• スケーラブルで計算的に効率的な枠組みであり、実際の現場でリアルタイム意思決定を可能にする。
• 数値的例示により、モデルが確率的ボラティリティ下でも最適な価格を生成し、在庫を適切に管理できることを確認している。