[論文レビュー] Algorithms for symmetric submodular function minimization under hereditary constraints and generalizations

Soto San Martín, José|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基数制約、ナップサック制約、マトロイド、グラフ誘導制約など、包含に関して閉じた家族（hereditary family）の制約下で、対称な部分加法的関数の空でない最小化子を求める多項式時間アルゴリズムを提示する。この手法は、O(n³)のオракルクエリのみを用い、Queyranneの非制約下での対称部分加法的関数最小化のアルゴリズムを拡張したものであり、探索空間が制限されても、最適解を立方数の関数評価回数で保証する。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm to find non-empty minimizers of a symmetric submodular function over any family of sets closed under inclusion. This for example includes families defined by a cardinality constraint, a knapsack constraint, a matroid independence constraint, or any combination of such constraints. Our algorithm make $O(n^3)$ oracle calls to the submodular function where $n$ is the cardinality of the ground set. In contrast, the problem of minimizing a general submodular function under a cardinality constraint is known to be inapproximable within $o(\sqrt{n/\log n})$ (Svitkina and Fleischer [2008]). The algorithm is similar to an algorithm of Nagamochi and Ibaraki [1998] to find all nontrivial inclusionwise minimal minimizers of a symmetric submodular function over a set of cardinality $n$ using $O(n^3)$ oracle calls. Their procedure in turn is based on Queyranne's algorithm [1998] to minimize a symmetric submodular

研究の動機と目的

• 包含に関して閉じた集合族（hereditary family）上での対称部分加法的関数最小化問題を解くこと。
• 非制約下でのQueyranneの立方時間アルゴリズムを制約付き設定に拡張すること。
• 制約付き最小化に対して、タイトなO(n³)のオラクル複雑度を達成する強多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• 基数、ナップサック、マトロイド独立性、グラフ誘導の包含的性質を含む一般の制約を効率的に処理できること。

提案手法

• 各ステップで妥当性を保つように、Queyranneのアルゴリズムフレームワークを包含族制約下に適応する。
• ピボットに基づく選択戦略を用い、候補集合を段階的に縮小しながら、最適解が残存する性質を維持する。
• NagamochiとIbarakiの手法に類似した再帰的分解アプローチを採用するが、包含族への属する性質を維持するように適応する。
• 関数fの対称性と部分加法的性質を活用し、各オラクル呼び出しにより最小化子の位置に関する意味のある情報を得られるようにする。
• すべての最小化子の中で最小の最適解を返すための最小解選択手順を適用する。
• 補集合による双対性を用いて、co-hereditary familyへ一般化し、対称部分加法的系における縮約問題の解決を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含制約下での対称部分加法的関数最小化は、有界なオラクル呼び出し回数で強多項式時間で解けるか？
• RQ2 Queyranneの非制約下での対称部分加法的関数最小化アルゴリズムを、オラクル複雑度を増加させずに制約付き設定に適応できるか？
• RQ3 このフレームワークで効率的に処理できる組合せ的制約（例：基数、マトロイド、ナップサック）の種別は何か？
• RQ4 O(n³)のオラクル呼び出しのみで、包含族下でのすべての最小最適解を特定できるか？
• RQ5 双対性を用いた補集合族への拡張により、対称部分加法的関数の縮約問題に同様の手法を適用できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、基底集合のサイズnに対して、正確にO(n³)のオラクルクエリを用いて、任意の包含族上での対称部分加法的関数の空でない最小化子を求める。
• 返された解は最小最適解である。つまり、その真部分集合としての最適解は存在しない。
• 本手法は、基数、ナップサック、マトロイド独立性、グラフ誘導の包含的性質を含む広範な制約に適用可能である。
• 追加の制約構造が存在しても、Queyranneの非制約下アルゴリズムの最良に知られたオラクル複雑度と一致する。
• 補集合による双対性を用いて、co-hereditary familyへ拡張可能であり、対称部分加法的系における縮約問題の解決を可能にする。
• 関数の種別に対してロバストであり、対称的・単調的・一貫性のある距離マップから導かれる関数（f(S) = d(S, V\S)が許容可能である限り）にも適用可能である。