[論文レビュー] Algorithms for Tverberg's theorem via centerpoint theorems

David Rolnick, Pablo Soberón|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、中心点の近似を活用して、ユークリッド空間におけるツヴェルベルク分割を計算する確率的アルゴリズムを提示する。点の数と次元に関して弱多項式時間の計算量を得ており、$k \sim n/d^3$ の場合に、これまでの手法よりも大幅に効率的かつスケーラブルな、初めての弱多項式時間アルゴリズムを実現している。

ABSTRACT

We obtain algorithms for computing Tverberg partitions based on centerpoint approximations. This applies to a wide range of convexity spaces, from the classic Euclidean setting to geodetic convexity in graphs. In the Euclidean setting, we present probabilistic algorithms which are weakly polynomial in the number of points and the dimension. For geodetic convexity in graphs, we obtain deterministic algorithms for cactus graphs and show that the general problem of finding the Radon number is NP-hard.

研究の動機と目的

• 高次元ユークリッド空間におけるTverberg分割を計算するための効率的アルゴリズムの開発。
• 地図的凸性を含むより一般的な凸性構造へ、Tverberg型アルゴリズムを拡張すること。
• 中心点の計算とTverberg分割の間の関係を確立し、アルゴリズム的進展を可能にすること。
• グラフに基づく凸性におけるTverberg型問題の計算複雑性を分析すること、NP困難性の結果を含む。
• $k \sim n/d^3$ のTverberg分割に対して、初めての弱多項式時間アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Clarkson ら (1996) の中心点近似を基盤として、Tverberg分割の構築に活用する。
• 中心点近似を用いて、誤差確率 $\varepsilon$ で有効な $k$-Tverberg 分割を返す確率的アルゴリズムを設計する。
• 中心点理論的枠組みを応用し、$k = \lceil n/(d(d+1)^2) \rceil$ の場合に、$n$, $d$, $\log(1/\varepsilon)$ に関して弱多項式時間のアルゴリズムを導出する。
• 整数格子における中心点に基づく構成を活用して、整数Tverberg分割への拡張を実現する。
• CNF充足可能性問題への帰着を用いたグラフ構築により、一般グラフにおける地図的Radon数の計算がNP困難であることを証明する。
• カスティスグラフにおける最短経路構造を用いて、任意のRadon分割において $w^+$ と $w^-$ が異なる部分に存在することを保証し、NP困難性の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心点近似技術を用いて、ユークリッド空間におけるTverberg分割のための効率的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 地図的凸性におけるグラフ上でのTverberg分割の計算複雑性はいかほどか？
• RQ3 $k$ が理論的上限 $n/(d+1)$ に近い場合に、弱多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 一般グラフ上での地図的凸性におけるRadon数の計算複雑性はどの程度か？
• RQ5 中心点とTverberg分割の関係を整数的・カラフルTverberg設定へ一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、$k = \lceil n/(d(d+1)^2) \rceil$ の場合に、$n$, $d$, $\log(1/\varepsilon)$ に関して弱多項式時間で実行される、Tverberg分割に対する初めての弱多項式時間アルゴリズムを提示している。
• 固定された $d$, $\lambda$, $\varepsilon$ に対して、$k = \lceil n(\frac{1}{d+1} - \lambda)\frac{1}{d} \rceil$ の場合、アルゴリズムは弱多項式時間 $O(n^4 \log(1/\varepsilon))$ で実行される。
• $k \sim n/d^3$ の場合のアルゴリズムは、$n$, $d$, $\log(1/\varepsilon)$ のすべてのパラメータに関して弱多項式依存を達成する最初のものである。
• 著者らは、一般グラフにおける地図的Radon数の計算がNP困難であることを証明している。
• CNF論理式を $\Phi^\ell$ に持ち上げる新しい構成により、3-SATからRadon数問題への帰着が可能となり、NP困難性が証明された。
• 本稿では、中心点近似とTverberg分割の間の新しいアルゴリズム的関係を確立し、ユークリッド空間およびグラフ凸性設定の両方で効率的な計算を可能にした。