[論文レビュー] Aliasing error of the exp$(β\sqrt{1-z^2})$ kernel in the nonuniform fast Fourier transform

Alex H. Barnett|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、非一様高速フーリエ変換（NUFFT）における半円の指数関数（ES）カーネルのエイリアシング誤差を厳密に分析し、カーネル幅 $ w $ に関して指数的収束を示し、カイザー＝バーゼルおよびプロラート・シュフェロイド波動関数カーネルの最適レートと漸近的に一致することを証明している。解析には勾配降下法、線積分、位相付きシンクサムを用い、タイプ1および2のNUFFTにおける誤差を評価し、信号処理および画像処理応用分野におけるスペクトル精度を実現する高パフォーマンスな代替手法としてのESカーネルの有効性を確立している。

ABSTRACT

The most popular algorithm for the nonuniform fast Fourier transform (NUFFT) uses the dilation of a kernel $ϕ$ to spread (or interpolate) between given nonuniform points and a uniform upsampled grid, combined with an FFT and diagonal scaling (deconvolution) in frequency space. The high performance of the recent FINUFFT library is in part due to its use of a new "exponential of semicircle" kernel $ϕ(z)=e^{β\sqrt{1-z^2}}$, for $z\in[-1,1]$, zero otherwise, whose Fourier transform $\hatϕ$ is unknown analytically. We place this kernel on a rigorous footing by proving an aliasing error estimate which bounds the error of the one-dimensional NUFFT of types 1 and 2 in exact arithmetic. Asymptotically in the kernel width measured in upsampled grid points, the error is shown to decrease with an exponential rate arbitrarily close to that of the popular Kaiser--Bessel kernel. This requires controlling a conditionally-convergent sum over the tails of $\hatϕ$, using steepest descent, other classical estimates on contour integrals, and a phased sinc sum. We also draw new connections between the above kernel, Kaiser--Bessel, and prolate spheroidal wavefunctions of order zero, which all appear to share an optimal exponential convergence rate.

研究の動機と目的

• 非一様高速フーリエ変換（NUFFT）において、指数的半円（ES）カーネルを用いた際のエイリアシング誤差を厳密に評価すること。
• カイザー＝バーゼルおよびプロラート・シュフェロイド波動関数（PSWF）といった既存のカーネルと比較して、ESカーネルの漸近的収束レートを確立すること。
• FINUFFTライブラリにおけるESカーネルの高パフォーマンスの理論的基盤を提供し、カーネル幅 $ w $ とともに誤差が指数的に減少することを証明すること。
• ESカーネル、カイザー＝バーゼル、PSWFの間の関係を、特にフーリエ尾部の振る舞いと収束レートの観点から探求すること。
• 指数関数形 $ e^{\beta\sqrt{1-z^2}} $ が、NUFFT文脈におけるすべての最適カーネルの背後にある共通の本質を有するかどうかを検討すること。

提案手法

• タイプ1および2のNUFFTにおけるエイリアシング誤差バウンドを、$ |z| \leq 1 $ に対して $ \phi_{\text{ES},\beta}(z) = e^{\beta(\sqrt{1-z^2}-1)} $ と定義されるESカーネルを用いて導出する。
• 条件収束するフーリエ変換の尾部に関する和を制御するため、勾配降下法および古典的線積分推定を適用する。
• 位相付きシンクサムを用いて、カーネルのフーリエ変換の臨界周波数領域における振る舞いを分析する。
• ESカーネルのフーリエ変換の尾部減衰を、カイザー＝バーゼルおよびPSWFカーネルと比較し、指数的減衰レートが漸近的に同等であることを示す。
• 厳密な漸近的解析を用いて、誤差が $ \mathcal{O}(e^{-c w}) $ として減少することを示し、$ c = \pi\sqrt{1 - 1/\sigma} $ であり、$ \sigma > 1 $ の場合に最適レートと一致することを証明する。
• 漸近的展開を用いてESカーネルとPSWFの間の関係を明らかにし、ガウス近似およびWKBJ近似を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NUFFTにおける指数的半円カーネルは、理論的最適レートに一致するエイリアシング誤差の減少率を達成するか？
• RQ2 ESカーネルのフーリエ変換の尾部は、カイザー＝バーゼルおよびプロラート・シュフェロイド波動関数カーネルと比較してどのように異なるか？
• RQ3 勾配降下法および線積分法を用いて、ESカーネルのエイリアシング誤差を厳密にバウンドできるか？
• RQ4 指数関数形 $ e^{\beta\sqrt{1-z^2}} $ は、NUFFTにおけるすべての最適 $ \mathcal{O}(e^{-cw}) $ 収束レートを達成するカーネルの特徴を表しているか？
• RQ5 代数的構造が異なるにもかかわらず、ES、KB、PSWFカーネルの間で実証的に類似した性能を示す理由は何か？

主な発見

• NUFFTにおけるESカーネルのエイリアシング誤差は、カーネル幅 $ w $ とともに指数的に減少し、レート $ c = \pi\sqrt{1 - 1/\sigma} $ を示し、カイザー＝バーゼルおよびPSWFカーネルの最適レートと一致する。
• 誤差バウンドは、カーネルのフーリエ変換の尾部に関する条件収束和に勾配降下法および線積分技術を適用することで確立された。
• ESカーネルのフーリエ変換は、$ e^{-\beta} $ のオーダーで尾部が減衰し、カイザー＝バーゼルおよびPSWFカーネルと同等であるため、その高パフォーマンスが説明される。
• 本稿では、ESカーネルが理論的最適に限りなく近い漸近的収束を達成することを証明しており、NUFFTカーネルにおける最も望ましい収束レートであると予想されるレートと整合的である。
• 実験的比較により、$ \psi_{\text{SlepH}}(z) \propto I_0(\beta\sqrt{1-z^2})(1 + \sqrt{1-z^2})^{-1/2} $ のハイブリッド形式が、KBカーネルよりもPSWFをより正確に近似し、相対誤差が $ < 0.2/\beta $ であることが判明した。
• PSWFのフーリエ変換のバンド外 $ [-\beta, \beta] $ における $ L^2 $ ノルムは、$ \sim 4\sqrt{\pi\beta} e^{-2\beta} $ として減少し、$ e^{-\beta} $ のレートで指数的減衰していることが確認され、ESおよびKBカーネルと整合的である。