[論文レビュー] All cyclic p-roots of index 3, found by symmetry-preserving calculations

Göran Björck, Uffe Haagerup|ArXiv.org|Mar 17, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、群論的構造と代数幾何学を活用して、素数 $p \equiv 1 \pmod{6}$ に対して、すべての巡回的 $p$-根（index 3）を対称性を保った形で明示的に計算する手法を提示する。立方剰余の作用を活用し、MAPLE や MATHEMATICA などの記号計算ツールを用いることで、双ユニモジュラー列の複素係数に対する閉形式の解を得る。さらに、$p \to \infty$ の極限において、解の $L^2$-ノルムが有界のまま保たれることを示し、テイラー展開と漸近解析を用いて明示的な一様な上限を確立する。

ABSTRACT

When using a Groebner basis to solve the highly symmetric system of algebraic equations defining the cyclic p-roots, one has the feeling that much of the advantage of computerized symbolic algebra over hand calculation is lost through the fact that the symmetry is immediately ``thrown out'' by the calculations. In this paper, the problem of finding (for all relevant primes p) all cyclic p-roots of index 3 is treated with the symmetry preserved through the calculations. Once we had found the relevant formulas, using MAPLE and MATHEMATICA, the calculations could even be made by hand. On the other hand, with respect to a straightforward attack with Groebner basis, it is not even clear how this could be organized for a general p. In other terminologies, our results involve listings of all bi-unimodular sequences constant on the cosets of the group G_0 of cubic residues, or equivalently all circulant complex Hadamard matrices related to G_0. The corresponding problem for bi-unimodular sequences of index 2 was solved by the first named author in 1989 and shortly after solved independently by de la Harpe and Jones in the case p = 1 (mod 4) and by Munemasa and Watatani in the case p = 3 (mod 4).

研究の動機と目的

• 素数 $p \equiv 1 \pmod{6}$ に対して、系の元の対称性を保ちつつ、すべての巡回的 $p$-根（index 3）を体系的に計算すること。
• 指数 2 の双ユニモジュラー列に用いられた手法を、対称性がより複雑な指数 3 の場合に拡張すること。
• 標準的なグレブナー基底法に伴う対称性の損失を避けるために、単純な巡回的 $p$-根（index 3）の係数に対する明示的公式を提供すること。
• $p \to \infty$ の極限において、解の $L^2$-ノルムが一様に有界であることを示し、$j=1,2,3$ に対して $\sqrt{p}\|c^{(j)}\|$ が有界であることを証明すること。
• 連続性とテイラー近似を用いて、特に $\theta = \pi/6$ の近傍における解の漸近的挙動を確認すること。

提案手法

• 乗法的群 $\mathbb{Z}_p^*$ の群構造を用い、$p$ を法とする立方剰余の陪集合 $G_0, G_1, G_2$ に分解する。
• 各 $i,k$ に対して、$b \in \{1,\dots,p-1\}$ で $b \in G_i$, $b+d \in G_k$ を満たす $b$ の個数を表す遷移数 $n_{ik}(d)$ を定義し、これにより系の対称性を符号化する。
• 巡回的 $p$-根の $p$ 個の式からなる系を、指数 3 の構造を活かして、係数 $c_0, c_1, c_2$ に関する三つの対称的方程式に簡約する。
• 著者らは、記号計算（MAPLE, MATHEMATICA）を用いて、$p$, $A = 2\sqrt{p}\cos(3\theta)$, $B = 2\sqrt{p}\sin(3\theta)/\sqrt{27}$ を用いた解 $c^{(1)}, c^{(2)}, c^{(3)}$ の閉形式表現を導出する。
• 平方根関数のテイラー展開を用いた漸近解析により、$p$ が大きい場合の $\sqrt{p}\|c^{(j)}\|$ の成長を推定し、有界性を証明する。
• 連続性の議論を用いて、$p \to \infty$ のときの $\sqrt{p}/c^{(3)}$ の極限を評価し、すべての $j$ に対して $|l_j| \leq 2$ が成り立つことを示し、無限大への発散仮定を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数 3 の巡回的 $p$-根系の対称性を、代数的計算の全過程で保持することは可能か？ これは、標準的なグレブナー基底法に伴う構造の損失を避けるものである。
• RQ2 素数 $p \equiv 1 \pmod{6}$ のとき、$p$ と三角関数的パラメータを用いて、すべての巡回的 $p$-根（index 3）の明示的代数的公式は何か？
• RQ3 $p \to \infty$ の極限において、解ベクトル $c^{(j)}$ の $L^2$-ノルムは一様に有界か？ もしそうなら、鋭い上限は何か？
• RQ4 $\theta = \pi/6$ の近傍における解の漸近的挙動は何か？ これにより $\sqrt{p}\|c^{(j)}\|$ の成長にどのような影響があるか？
• RQ5 すべての素数 $p \equiv 1 \pmod{6}$ に対して、一様な解析的枠組みを用いて解集合をパラメータ化することは可能か？

主な発見

• すべての巡回的 $p$-根（index 3）が、対称性を保った簡約法により明示的に計算され、$\theta$ をパラメータとする三つの解族が得られた。
• $p \geq 31$ のとき、量 $\sqrt{p}\|c^{(1)}\|$ は $\sqrt{2.25} = 1.5$ で上から抑えられ、数値的および解析的に検証された。
• $p < 10000$ のとき、$\sqrt{p}\|c^{(2)}\|$ は $4.1$ で上から抑えられ、$p > 10000$ のとき、精密な推定により $\sqrt{10.17} \approx 3.19$ で抑えられる。
• $p \to \infty$ のときの $\sqrt{p}/c^{(3)}$ の極限は、$(-2\cos\theta_0, -2\sin(\theta_0 - \pi/6), 2\sin(\theta_0 + \pi/6))$ に等しく、すべての $j$ に対して $|l_j| \leq 2$ が成り立つことが示された。
• $p = 7, 13, 19$ のとき、$\sqrt{p}\|c^{(1)}\| < 3$ であり、$p \geq 31$ のときには $< 1.5$ の境界が成り立つ。これは一様性を確認するものである。
• 解析により、すべての $j$ に対して $\sqrt{p}\|c^{(j)}\|$ が有界のまま保たれ、最悪の場合の成長が三角関数的および代数的推定によって制御されていることが確認された。